Giá trị của một tích phân

Question

Tôi cần xác minh giá trị của tích phân sau $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ Tích hợp (yếu tố của $4n(n-1)$) đã bao gồm) là pdf của một biến ngẫu nhiên nhất định cho $n\geq 3$và do đó tôi mong đợi nó là 1. Nếu ai đó có thể vui lòng đưa nó vào một hệ thống đại số máy tính nào đó như MATHEMATICA, tôi rất có trách nhiệm. Tôi không có quyền truy cập vào bất kỳ phần mềm CAS nào.

Tái bút: Tôi không biết bất kỳ phần mềm CAS miễn phí nào. Nếu có ai đó có thể xin vui lòng chia sẻ

Answer 1

Tích phân có thể được viết lại thành \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Tích hợp theo các bộ phận, chúng tôi có được $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Vì thế, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Bạn có thể sử dụng SageMath và WolframAlpha để tính toán tượng trưng. Cả hai đều miễn phí.

Answer 2

Có vẻ như phỏng đoán của bạn là đúng. Mathematica cho kết quả$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ xét về chức năng Beta chưa hoàn chỉnh và đưa vào các số nguyên ngẫu nhiên $\geq 3$ luôn cho kết quả là 1 (Tôi đã không quản lý được Mathematica để loại bỏ điều đó như một kết quả chung cho tùy ý $n$).

Answer 3

Bạn có thể sử dụng CoCalc . Ví dụ: nhập integral(x^2,x)và nhận1/3*x^3

Nó cũng cho phép các tham số tượng trưng.

Đầu vào:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Đầu ra:

1/3*x^3+n*x