Lưới trên các mô-đun

Question

Cấu trúc tiêu chuẩn của các mạng trong $\mathbb{R}^n$ có thể được tổng quát hóa bằng cách lấy bất kỳ không gian vectơ chiều hữu hạn nào $V$ trên một cánh đồng $F$ và một chuỗi con $R$ của $F$, theo Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Có lý do gì tại sao chỉ không gian vectơ hữu hạn chiều được xem xét ở đây, chứ không phải các mô-đun tự do có hạng hữu hạn? Mạng tinh thể vẫn nên tạo thành một nhóm phụ cộng, và tôi nghĩ rằng đặc tính của các bazơ để tạo ra các mạng đồng dạng cũng nên vẫn như vậy. Có tài sản quan trọng nào bị mất với sự tổng quát hóa này mà tôi đang thiếu không?

Answer 1

Một thuộc tính quan trọng của lý thuyết về mạng là sản phẩm bên trong mà bạn nhận được từ $\mathbb{R}^n$, cũng như các đối tượng liên quan như âm lượng.

Nhiều định lý thú vị và hữu ích đến từ sự tương tác giữa cấu trúc đại số và hình học, ví dụ như định lý Minkowski và ứng dụng của nó vào hình học các số. Hình học cũng rất quan trọng đối với các ứng dụng của nó trong mật mã , vì người ta cần một quy chuẩn để nói về những thứ như bài toán vectơ ngắn nhất.

Một định nghĩa tương đương cho mạng là định nghĩa chúng là một $\mathbb{Z}$môđun trang bị ở dạng bậc hai. Khái quát sau đây xuất hiện trên trang 3 của "Mạng và mã" của Ebeling.

Định nghĩa: Để$R$là một vành giao hoán với sự thống nhất. Một mô-đun dạng song tuyến đối xứng$(S,b)$ kết thúc $R$ là một cặp bao gồm một $R$-môđô $S$ của cấp bậc $n$, và một dạng song tuyến đối xứng $b : S \times S \to R$.

Mệnh đề 1.1 (Ebeling) Các mạng tích phân trong$\mathbb{R}^n$ (mạng mà mọi tích chấm là một số nguyên) là các môđun dạng song tuyến đối xứng qua các số nguyên trong đó $b$ là một dạng song tuyến đối xứng xác định dương.

Văn bản đề cập rằng các mô-đun dạng song tuyến đối xứng qua $\mathbb{Z}$ không có thuộc tính xác định dương được nghiên cứu trong chương 4, và các ví dụ về các vòng số nguyên được nghiên cứu trong chương 5. Bạn có thể thấy thú vị khi xem xét chúng.