Một câu hỏi về số p-adic

Question

Tôi đang cố gắng tìm hiểu về $p$-adic số và tôi có một số câu hỏi. Tôi đã cố gắng tìm hiểu về động lực từ trang Wikipedia , trang này rất rõ ràng và với một số ví dụ đơn giản.

Nhưng tôi gặp khó khăn khi hiểu những điều sau:

• Nếu chúng ta sử dụng cách tiếp cận đại số để xây dựng, trước tiên chúng ta xây dựng $\mathbb{Z}_p$ và chúng từ nó mà chúng tôi xây dựng $\mathbb{Q}_p$ bằng cách coi nó là trường phân số của $\mathbb{Z}_p$. Điều tôi không hiểu là số 0 trong chiếc nhẫn$\mathbb{Z}_p$. Ví dụ, nếu chúng ta có$p=7$chúng ta có rằng (0,7,7,7,7, ...) và (0,7,7,7,56,56,56, ....) đều không có nghịch đảo. Cả hai đều bằng không$\mathbb{Z}_p$? Đây có phải là điều tương tự như 7 và 14 đều là số không trong$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$?

• Mỗi $x\in \mathbb{Q}_p$ có thể được viết như $x=p^{-n}u,$ Ở đâu $n\in \mathbb{N}, u \in \mathbb{Z}_p^*.$Tại sao điều này đúng? Vì vậy, tôi hiểu rằng$x=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}_p,$ vì vậy chúng tôi có $a=p^ku, b=p^mv, m,k\in\mathbb{N}, u,v\in \mathbb{Z}_p.$ Nhưng tôi không biết phải tiếp tục như thế nào.

Answer 1

không, chúng không phải là số không. nó không có nghịch đảo $\mathbb{Z}_7$ nhưng điều này không có nghĩa là nó phải bằng 0 $\mathbb{Z}_7$ là một chiếc nhẫn giống như $\mathbb{Z}$ và có nhiều phần tử khác không, không thể đảo ngược.

chúng ta có thể mô tả các yếu tố không thể đảo ngược trong $\mathbb{Z}_7$: một trình tự có thể đảo ngược trong $\mathbb{Z}_7$nếu và chỉ khi thành phần đầu tiên của nó không chia hết cho bảy. lý do là mọi yếu tố của$\mathbb{Z}/7^n$mà là cùng chuẩn với 7 có một nghịch đảo duy nhất. vì vậy bạn có thể thực hiện các phép nghịch đảo theo từng thành phần và chúng tương thích với nhau.

bởi thực tế này, bạn có thể thấy rằng mọi yếu tố của $\mathbb{Z}_7$ có thể được viết dưới dạng $7^nu$ u là invertible. biết câu hỏi thứ hai của bạn là sự thật này bằng một ngôn ngữ khác.