Một vấn đề hình học về cột

Question

$\textbf{Problem:}$Để cho $ABC$ là một tam giác với đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Điểm$D$ nằm trên vòng cung $BC$ không chứa $A$ của $\omega$ và khác với $B,C$ và điểm giữa của cung $BC$. Tiếp tuyến của$\omega$ trên $D$ đường giao nhau $BC$,$CA$,$AB$ tại $A'$,$B'$,$C'$, tương ứng. Dòng$BB'$ và $CC'$ giao nhau tại $E$. Hàng$AA'$ lại giao nhau giữa vòng tròn $\omega$ tại $F$. Chứng minh rằng các điểm$D,E,F$ thẳng hàng.

Tôi đã cố gắng sử dụng định lý menelaus trên một loạt các tam giác và theo một vài cách tôi đã trình bày lại vấn đề để áp dụng nó. Nhưng tất cả những nỗ lực đó đều thất bại.

Bất kỳ trợ giúp hoặc giải pháp sẽ được đánh giá cao.

Cảm ơn @oldboy về sơ đồ.

Answer 1

Giải pháp chủ quan (hoặc trong cuộc thi hiện đại mòn mỏi, phương pháp di chuyển điểm).

Hãy để chúng tôi sửa vòng tròn và điểm $B,C,D$ trên nó như tiếp tuyến tại $D$ và để chúng tôi di chuyển $A$trên vòng tròn. Sau đó cũng$E,F$ và $B',C'$ di chuyển, nhưng không $A'$. Sau đó, thành phần của bản đồ xạ ảnh$B'\mapsto A$ và $A\mapsto C'$ cũng là xạ ảnh và bản đồ này tạo ra bản đồ xạ ảnh của bút chì từ $(B)$ đến $(C)$: $BB'\mapsto CC'$.

Điều này có nghĩa là giao điểm của $BB'$ và $CC'$, đó là điểm $E$, mô tả một số conic (đi qua các điểm $B$, $C$ và $D$). Bây giờ hãy để dòng$DE$ gặp vòng tròn tại $F'$. Vì hình nón và hình tròn gặp nhau tại$D$ chúng tôi thấy bản đồ đó $E\mapsto F'$được xác định rõ và nó là xạ ảnh từ hình nón sang hình tròn. Điều này cũng có nghĩa là thành phần của bản đồ xạ ảnh$A\mapsto B'$, $B'\mapsto E$ và $E\mapsto F'$ I E $A\mapsto F'$ là bản đồ xạ ảnh trên vòng tròn nó tự.

Chúng tôi muốn chứng minh rằng đây thực sự là một phép biến đổi của vòng tròn $A\mapsto F$ với trung tâm tại $A'$. Theo định lý cơ bản của hình học xạ ảnh, chúng ta phải tìm ra 3 tình huống cụ thể cho$A$ khi nào $F=F'$ có nghĩa là $F=F'$luôn luôn đúng. Nhưng điều này rõ ràng là đúng khi$A\in\{B,C,D\}$ và chúng tôi đã hoàn thành.

---

Bất kỳ cách nào ở đây là một giải pháp hình học Euclide: https://artofproblemsolving.com/community/c6h2205298p16643760