Phá luật bởi những con số

Question

Đặc vụ Benford đã bị cản trở bởi một trường hợp thứ ba chưa được giải quyết về kế toán sáng tạo sai lầm và sẽ tự nguyện nghỉ hưu khỏi Lực lượng Đặc nhiệm Số gian lận. Khả năng phát hiện sổ cái giả mạo của Benford chỉ bằng cách đếm các chữ số đầu tiên của các mục số được biết đến đến mức một luật mang tên người anh hùng còn bỡ ngỡ của chúng ta.

Định luật Benford : Trên một bảng kế toán trung thực, chữ số đầu tiên của gần 1/3 tất cả các mục số phải là '1', thường xuyên hơn nhiều so với '2' hoặc bất kỳ chữ số nào khác. Số lượng mỗi chữ số là một chữ số đầu tiên phù hợp với mô hình giảm dần trong đó '9' là chữ số đầu tiên trong số ít số nhất.

Phương pháp luận này đã phục vụ tốt cho Benford qua nhiều thập kỷ phục vụ vì những nhân viên kế toán vô đạo đức chủ yếu đánh đố các số thập phân . Tuy nhiên, qua nhiều năm, hai trường hợp vẫn chưa được kiểm soát vì chúng liên quan đến các hệ thống đánh số khác. Tất cả các số nguyên dương đều bị nghi ngờ.

1. Trường hợp một chưa được giải quyết. Nhận ra hệ thống đánh số lâu đời nhất được biết đến, Benford biết rằng các chữ số đầu tiên của nó sẽ không dẫn đến sự thuyết phục.

2. Trường hợp thứ hai chưa được giải quyết. Benford đã công nhận hệ thống đánh số này là hệ thống được hầu như tất cả các máy tính hiện đại sử dụng và một lần nữa phải thừa nhận rằng các chữ số đầu tiên của nó không có manh mối.

Cuối cùng, than ôi, là trường hợp mới nhất.

1. Trường hợp Ba chưa được giải quyết. Benford chưa bao giờ gặp phải hệ thống đánh số này trước đây nhưng khi nhìn thấy các mục nhập nhận ra rằng chúng cũng sẽ bất chấp “Luật”. Trước khi từ bỏ, Benford đã biết rằng hệ thống đánh số lệch lạc tương tự đã được nhìn thấy trong giới học giả trong nhiều thế kỷ, mặc dù hiếm khi, và thực sự là cơ sở của một số máy tính kỹ thuật số hiệu quả thông minh.

Hệ thống đánh số các Trường hợp Một, Hai và Ba là gì và tại sao chúng lại vô Luật?

Thử thách tiền thưởng: Trong trường hợp nào, người thay thế Benford, Người kế vị Đặc vụ, có thể thành công hơn bằng cách đếm chữ số thứ hai của mục nhập? Tần số số dự kiến ​​của họ sẽ là bao nhiêu?

_{(Không có cách chơi chữ nào là xấu.)}

Answer 1

Tôi nghĩ câu trả lời là như sau.

Trường hợp một:

Một bậc , còn được gọi là số học tally. Mỗi số được cho bởi một số ký hiệu (thường là dấu gạch chéo dọc tương tự như chữ số), do đó "chữ số" đầu tiên luôn giống nhau. Tất nhiên, đây là phương pháp đếm cổ nhất.

Trường hợp hai:

Nhị phân . Một lần nữa, chữ số đầu tiên của mọi số là 1, do đó định luật Benford không thể giúp được gì. Nhị phân là cơ sở cho hầu hết các kiến ​​trúc máy tính hiện đại.

Trường hợp ba:

Bậc ba cân bằng . Trong bậc ba cân bằng, các chữ số là 1, 0 và -1, và chữ số đầu tiên của mọi số dương luôn là 1. Có một số lý do lý thuyết tại sao số ba cân bằng làm cho một số phép toán nhất định hiệu quả hơn và dường như được sử dụng làm cơ sở cho một số Máy tính của Liên Xô trước đây.

Tặng kem:

Nhìn vào chữ số thứ hai sẽ cung cấp một số sai lệch thống kê trong trường hợp bậc ba nhị phân và cân bằng, nhưng không phải trong trường hợp đơn phân. Đối với trường hợp nhị phân, sử dụng tổng quát hóa đơn giản của phân phối được cung cấp tại Wikipedia , xác suất chữ số thứ hai là 0 là$\log_2(3) -\log_2(2)$, khoảng 58,5%.

Đối với bậc ba cân bằng, sự phân bố của chữ số thứ hai có vẻ giống như chữ số bậc ba, nhưng khác biệt một cách tinh tế. Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ liên hệ phân phối bậc ba cân bằng với phân phối bậc ba thông thường. Trong phân phối bậc ba thông thường, xác suất một số bắt đầu bằng$n$ (dưới dạng một chuỗi chữ số) là $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Để dễ trình bày, chúng ta có thể bỏ qua các số có ít hơn 3 chữ số bậc ba cân bằng, vì sẽ có một số ngoại lệ hữu hạn đối với các quy tắc chúng ta đặt ra bên dưới sẽ biến mất khi chúng ta xem xét tính vô hạn của số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu$+$, $\cdot$ và $-$ cho các chữ số bậc ba cân bằng của chúng tôi.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp chữ số thứ hai là $-$. Chuyển đổi sang bậc ba, chúng tôi có$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, và như thế. Do đó, chữ số thứ hai của số bậc ba cân bằng là$-$ nếu và chỉ khi số bậc ba tương ứng bắt đầu bằng $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; hoặc là$21$, ngoại trừ những thứ bắt đầu bằng $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Để có xác suất điều này xảy ra, chúng tôi cộng tất cả các xác suất liên quan từ phân phối Benford trên các phạm vi bậc ba thông thường. Sử dụng Máy tính Magma , chúng tôi thu được xác suất gần đúng 46,5%.

Bây giờ hãy xem xét trường hợp chữ số thứ hai là $\cdot$. Như trên, đối với các số bậc ba cân bằng thỏa mãn điều kiện này, các số bậc ba tương đương thỏa mãn$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, v.v. Vì vậy, như trước đây, số bậc ba cân bằng có chữ số thứ hai $\cdot$ khi số bậc ba tương ứng bắt đầu bằng $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; hoặc là$10$, ngoại trừ những thứ bắt đầu bằng $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Điều này mang lại xác suất khoảng 30,63%.

Đối với chữ số thứ hai $+$, chúng tôi chỉ có thể cộng các kết quả trước đó và trừ đi 1, nhưng khi kiểm tra, chúng ta hãy tính nó theo cách tương tự. Như trên, chúng tôi có$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Do đó chữ số bậc ba cân bằng thứ hai là$+$ khi số bậc ba tương ứng bắt đầu bằng $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; hoặc là$11$, ngoại trừ những thứ bắt đầu bằng $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Như trên, xác suất này tổng cộng là 22,87%.

Để so sánh, xác suất cho các chữ số thứ hai trong bậc ba thông thường là 40,22%, 32,47% và 27,32% cho $0$, $1$ và $2$, tương ứng.