Phân biệt $x^x$ "Trực tiếp"

Question

Tôi biết đạo hàm là $x^x\log x+x^x$, nhưng tôi đã nhận được điều này bằng cách sử dụng phân biệt logarit. Có thể thực hiện điều này 'trực tiếp' mà không cần nhập nhật ký hoặc cấp số nhân không?

Answer 1

Có một mẹo hay sử dụng phép tính đa biến mà bằng cách nào đó tự nhiên hơn: nếu bạn viết $f(y, z) = y^z$ và $g(x) = (x, x)$ đối với bản đồ đường chéo, sau đó $x^x = f(g(x))$. Bây giờ sự khác biệt của$f$ Tại một điểm $(y, z)$ Là $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ và sự khác biệt của $g$ Chỉ là $(1,1)$, do đó theo quy tắc chuỗi, đạo hàm của $x^x$ Là $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$.

Answer 2

Tôi sẽ cho rằng điều bạn muốn nói là phân biệt với các nguyên tắc đầu tiên, thay vì sử dụng$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$Bạn cần đánh giá$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

Nếu $y$ và $z$ là chức năng của $x$, thì đạo hàm toàn phần của một hàm $f(y,z)$ đối với $x$ bằng $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ Từ thực tế phép tính nhiều biến này, chúng ta có thể rút ra một số quy tắc phân biệt phép tính một biến số:

• Đang lấy $f(y,z) = yz$, chúng ta có $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ và $\frac{\partial f}{\partial z} = y$và do đó (*) trở thành quy tắc sản phẩm $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• Đang lấy $f(y,z) = \frac yz$, chúng ta có $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ và $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$và do đó (*) trở thành quy tắc thương số $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• Cuối cùng, lấy $f(y,z) = y^z$, chúng ta có $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ và $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$và do đó (*) trở thành $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ Đặc biệt, thiết $y=x$ và $z=x$, vậy nên $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, sản lượng $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

Việc khai thác đạo hàm toàn phần này cũng giúp tạo ra các đạo hàm của các biểu thức như $\int_a^x f(x,t)\,dt$và giúp giải thích tại sao tất cả các quy tắc rất khác nhau này đều có hình dạng "giả vờ tất cả ngoại trừ một trong những chức năng của $x$ là hằng số, tại một thời điểm và cộng tất cả các đạo hàm giả đó lại với nhau để có được đạo hàm thực tế ".

Answer 4

Xem xét,

$$f(x) = x^x$$

Sau đó,

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

Bây giờ, hãy xem xét thuật ngữ đúng nhất trong ngoặc,

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

Và,

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

Vì thế,

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

Theo định nghĩa rằng đạo hàm là biến thể bậc nhất,

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

Tài liệu tham khảo