Số cách ấn định điểm số
Một bài kiểm tra bao gồm $12$ câu hỏi được cho điểm với $200$điểm. Có bao nhiêu cách có thể$200$ điểm được chỉ định nếu mỗi câu hỏi phải có giá trị ít nhất $10$ điểm nhưng không nhiều hơn $25$ và điểm số phải là bội số của $5$?
Tôi đang nghĩ về một sự kết hợp khả dĩ với sự lặp lại. $15$ điểm ($80/5$) ra khỏi $12$các câu hỏi. Nhưng tôi không biết cách áp dụng giới hạn tối đa của$25$.$3$ cho mỗi câu hỏi $\frac{25-10}{3}$.
Nhưng nó có thể không phải là sự kết hợp với sự lặp lại, vì tôi giải thích câu này có nghĩa là câu hỏi đầu tiên có giá trị hay không không quan trọng. $30$ điểm và điểm thứ hai là giá trị $10$, là ngược lại. Tôi hiểu rằng ví dụ cụ thể này là một cách độc đáo, phải không?
Trả lời
Vì mỗi điểm phải là bội số của $5$, chúng tôi cũng có thể chia tất cả các giá trị điểm cho $5$ và có $12$ tổng số câu hỏi có giá trị $40$ điểm, mỗi câu hỏi phải có giá trị ít nhất $2$ và nhiều nhất $5$điểm. Nếu$p_k$ là giá trị điểm của $k$- câu hỏi thứ, chúng tôi đang tìm kiếm một số giải pháp cho
$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$
bằng số nguyên $p_k$ thỏa mãn điều kiện rằng $2\le p_k\le 5$ cho $k=1,\ldots,12$. Để cho$x_k=p_k-2$ cho $k=1,\ldots,12$; thì số giải pháp cho$(1)$ tùy thuộc vào hạn chế đã nêu cũng giống như số lượng giải pháp
$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$
bằng số nguyên không âm $x_k$ thỏa mãn điều kiện rằng $x_k\le 3$ cho $k=1,\ldots,12$. Nếu nó không phải là giới hạn trên của các con số$x_k$, đây sẽ là một vấn đề về sao và thanh tiêu chuẩn và sẽ có$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$của họ. Thật không may, nhiều giải pháp trong số đó vi phạm giới hạn trên của một hoặc nhiều số$x_k$, vì thế $\binom{27}{11}$là một đánh giá quá cao đáng kể. Để sửa lỗi này, bạn sẽ cần phải thực hiện một phép tính loại trừ bao gồm. Câu trả lời của tôi cho câu hỏi này bao gồm một phép tính như vậy; cố gắng sử dụng nó như một mô hình để hoàn thành giải pháp cho vấn đề của bạn.
Vì tất cả các điểm số đều là bội số của $5$ chúng ta có thể chia cho nó, dẫn đến $40$ tổng điểm và điểm câu hỏi từ $2$ đến $5$điểm. Vì mỗi câu hỏi ít nhất phải có$2$ điểm, chúng ta có thể coi các câu hỏi là nắm giữ $24$ "điểm cơ bản", để lại vấn đề là có bao nhiêu cách để phân phối $16$ "thêm điểm" cho $12$ câu hỏi không có câu hỏi có nhiều hơn $3$ của họ.
Là một vấn đề về chức năng tạo, đây là $x^{16}$ Hệ số $(1+x+x^2+x^3)^{12}$. Và câu trả lời hóa ra là$1501566$.