Theo định lý Tychonoff

Question

Để cho $x_n:[0,1]\rightarrow E$ một chuỗi các ứng dụng, trong đó $E$là một không gian quy chuẩn. Giả sử rằng với mọi$t\in [0,1]$ $$\left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \} \text{ is weakly compact.}$$

Tuyên bố: Theo định lý Tychonoff , người ta có thể hiểu rằng:

$$\left \{ x_n(.):\; n\in \mathbb N\right \}=\prod_{t\in [0,1]} \left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \}$$ nhỏ gọn trong $\mathcal{A}([0,1],E)$, Ở đâu $\mathcal{A}([0,1],E)$ không gian của ứng dụng từ $[0,1]$ đến $E$.

Vấn đề : Vế trái của đẳng thức là một tập con của$\mathcal{A}([0,1],E)$, trong khi phía bên phải là một tập hợp con của $\{x_n([0,1]): n\in \mathbb N\}$!

Tôi biết ứng dụng sau là bijective $$\begin{matrix} \Phi: \mathcal{A}([0,1],E)& \rightarrow & E^{[0,1]}\\ x &\mapsto & \big(x(t)\big)_{t\in [0,1]} \end{matrix}$$

nhưng tôi không biết làm thế nào để sử dụng nó, nếu homeomorphism của nó, vấn đề của tôi sẽ rõ ràng.

Answer 1

Bên tay phải (theo định nghĩa của một sản phẩm vô hạn) cũng nằm trong$\mathcal{A}([0,1],E)$.

Của bạn $\Phi$là bản sắc. Không có gì để chứng minh.

IMO, đó là ký hiệu $\{x_n(\cdot): n \in \Bbb N\}$ lạ thật.