Tìm cơ sở của không gian cột

Question

Tôi đã được đưa ra câu hỏi sau:

Giả định rằng $A$ là hàng tương đương với $B$. Tìm cơ sở cho Null A và Col A.$$A=\left[\begin{matrix}-2&6&-2&-6\\2&-9&-6&2\\-3&12&5&-5\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}1&0&9&7\\0&3&8&4\\0&0&0&0\\\end{matrix}\right]$$

Tôi biết rằng để tìm ra cơ sở của khoảng trắng, tôi có thể đặt $A$bằng 0 và sử dụng các biến từ các cột miễn phí. Tôi cũng biết rằng để tìm cơ sở của không gian cột, tôi có thể chỉ cần sử dụng tất cả các hàng có hàng đầu. Câu hỏi của tôi liên quan đến không gian cột. Để giảm thiểu điều này xuống REF, tôi có đặt A và B vào một ma trận tăng cường không? Hoặc tôi có thể tìm thấy không gian cột mà không sử dụng B của tôi - bằng cách đặt thành 0 theo cách giống như cách tôi làm cho không gian rỗng của mình?

Biên tập:

Ngay bây giờ, tôi đã tạo một ma trận tăng cường và tìm thấy REF. Không gian cột của tôi đã trở thành:$$\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}-4\\1\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\\frac{-1}{2}\\1\\\end{matrix}\right)$$Điều này có chính xác?

Answer 1

Thực hiện các thao tác hàng trên $A$ không thay đổi cột nào độc lập tuyến tính.

Trong $B$, bạn có thể thấy rằng hai cột đầu tiên là độc lập và tất cả các cột khác là kết hợp tuyến tính của những cột đó; tổng quát hơn, trong RREF, nếu bạn tìm kiếm mục nhập khác không đầu tiên trong mỗi hàng và khoanh tròn chúng (trong trường hợp này, đó là mục nhập$(1,1)$ và $(2,2)$) thì CỘT chứa các phần tử được khoanh tròn mở rộng không gian cột.

Điều gì về không gian rỗng? Đối với mỗi cột KHÔNG chứa mục nhập được khoanh tròn (trong trường hợp này là cột 3 và 4), bạn có thể tạo các mục tương ứng là tất cả các số 0 ngoại trừ một mục$1$, vì vậy bạn tạo vectơ $$ \pmatrix{\star\\ \star \\ 0 \\ 1}, \pmatrix{\star\\ \star \\ 1 \\ 0} $$trong ví dụ của bạn; thì bạn hỏi "tôi phải đặt những giá trị nào để thay thế các ngôi sao để làm cho các vectơ này thỏa mãn$Ax = 0$? Nó sẽ trở nên dễ dàng để trả lời điều đó (từ biểu mẫu cấp bậc hàng) và điều đó sẽ cung cấp cho bạn cơ sở cho khoảng trắng.