Toán tử Tích phân nhỏ gọn?

Question

Tôi đã tình cờ gặp một toán tử tuyến tính thú vị. Tôi không chắc liệu nó có nhỏ gọn hay không:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Tôi đã cố gắng sử dụng đối số sau: Hãy $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ bị ràng buộc và để $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ là một con với giới hạn yếu $f \in L^2([0, 1])$. Sau đó:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Tôi vẫn có thể chứng minh rằng điều này $\sup$ đạt được trên một số $x_{n_k} \in [0, 1]$ nhưng điều này không giúp tôi vì sự phụ thuộc vào $n_k$. Nếu không, tôi đã sử dụng hội tụ yếu tại thời điểm đó.

Có cách nào dễ dàng hơn hoặc đây là nhà điều hành thậm chí nhỏ gọn?

Answer 1

Đó là một toán tử cấp bậc hữu hạn và do đó nhỏ gọn: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ Ở đâu $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, vì vậy hình ảnh của một tập hợp có giới hạn là một tập hợp con có giới hạn của một không gian con 3 chiều của $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Nếu $k(x,y)=a(x)b(y)$, Ở đâu $a$ và $b$ các chức năng liên tục trên $[0,1]$, sau đó $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Do đó, toán tử tích phân $T_k$, được cho bởi nhân tích phân $k$, thỏa mãn $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$và do đó, $T_k$được coi là một toán tử cấp một. Nếu thay vào đó,$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ Ở đâu $a_i$ và $b_i$ một lần nữa các chức năng liên tục được bật $[0,1]$, toán tử tích phân tương ứng thỏa mãn $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ vì vậy thứ hạng của $T_k$ nhiều nhất là $n$, do đó hữu hạn.

Nếu tiếp theo chúng ta giả định rằng $k$ là một giới hạn đồng nhất của các chức năng $k_n$ của dạng (1), không khó để thấy rằng $T_{k_n}\to T_k$, trong định mức nhà điều hành, vì vậy $T_k$ là một toán tử nhỏ gọn vì nó là giới hạn của các toán tử hạng hữu hạn.

Định lý Stone-Weierstrass có thể dễ dàng được sử dụng để chỉ ra rằng tập con của $C([0,1]\times[0,1])$ được tạo thành bởi tất cả các chức năng của dạng (1) là dày đặc, vì vậy kết luận của đoạn trên phù hợp với bất kỳ $k$. Điều này chứng tỏ:

Định lý . Bất kỳ toán tử tích phân nào trên$L^2[0,1]$ với một nhân tích phân liên tục là compact.