Tổng quát các hàm đối xứng

Question

A $n$-chức năng thay đổi $f$ là một hàm đối xứng nếu $$f(x_1,x_2, \ldots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$$ cho mọi hoán vị $\sigma \in S_n$. Đặc biệt, nếu$f$ là một đa thức, sau đó $f$là một đa thức đối xứng. Những đối tượng này đã được nghiên cứu nhiều.

Tôi tự hỏi nếu khái quát sau đây đã được nghiên cứu. A$n^2$-chức năng thay đổi $f$ là một $S_n$-chức năng đối xứng nếu $$f(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n}, \ldots, x_{nn}) = f(x_{\sigma(1)\sigma(1)}, x_{\sigma(1)\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(1)\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(n)\sigma(n)})$$ cho mọi hoán vị $\sigma \in S_n$.

Tôi nghĩ những vật thể như vậy phải được nghiên cứu vì chúng rất tự nhiên. Nhưng tôi không biết các từ khóa và không thể tìm thấy tài liệu.

Tôi rất biết ơn nếu ai đó có thể cung cấp thông tin về chúng. Cảm ơn trước.

Answer 1

Để cho $w\in S_n$ (nhóm đối xứng) có kiểu chu trình $\lambda =(\lambda_1,\dots, \lambda_\ell)\vdash n$, Ở đâu $\ell=\ell(\lambda)$ là chiều dài (số phần khác không) của $\lambda$. Sau đó, hành động gây ra của$w$ trên $[n]\times [n]$ (Ở đâu $[n]=\{1,2,\dots,n\}$) có điều tra viên chu kỳ $$ \prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} z_{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}^{\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}. $$ Để cho $f_n(d)$ là thứ nguyên của không gian của đa thức phức trong các biến $x_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, đồng nhất về mức độ $d$ và $G$-khác nhau. Sau đó, theo định lý Molien,$$ F_n(x):=\sum_{d\geq 0} f_n(d)x^d $$ $$ \ \ = \frac{1}{n!}\sum_{\lambda\vdash n} \frac{n!}{z_\lambda}\prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} \frac{1}{\left(1-x^{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}\right)^ {\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}}. $$ Tôi đang sử dụng ký hiệu hàm đối xứng tiêu chuẩn, vì vậy $n!/z_\lambda$ là số hoán vị trong $S_n$ loại chu kỳ $\lambda$. Ví dụ,$$ F_1(x) = \frac{1}{1-x} $$ $$ F_2(x) = \frac{1+x^2}{(1-x)^4(1+x)^2} $$ $$ F_3(x) = \frac{1+3x^2+10x^3+16x^4+12x^5+16x^6+10x^7+3x^8+x^{10}} {(1-x)^9(1+x)^4(1+x+x^2)^3}. $$ Phụ lục. Lý thuyết bất biến của các nhóm hữu hạn, chẳng hạn như có thể được tìm thấy ở đây , có thể được sử dụng để có thêm một số thông tin về vòng$R$của đa thức bất biến. Ví dụ, nếu$S$ là chuỗi con của tất cả các hàm đối xứng trong $x_{ij}$thì $R$ là miễn phí được tạo hoàn toàn $S$-mô hình xếp hạng $n^2!/n!$.