Xấp xỉ Bhaskara của cos (x)

Question

Theo hiểu biết của tôi, cách gần nhất của $\sin$ và $\cos$ xấp xỉ Bhaskara là: $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ và $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$

ước lượng gần đúng nhất của $\cos(x)$ cho $ -\pi\leq x\leq 0$ (bằng một hàm thông thường)?

Answer 1

Về tính gần đúng, bạn có thể làm rất nhiều thứ tùy thuộc vào số hạng bạn muốn đưa vào biểu thức. Hầu hết thời gian, điều này được thực hiện bằng cách sử dụng xấp xỉ Padé.

Ví dụ: đối với câu hỏi của bạn, sử dụng $[3,2]$ Padé gần đúng được xây dựng xung quanh $x=-\frac \pi 2$, chúng tôi nhận được $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ dẫn đến lỗi tuyệt đối là $0.0042$ ở giới hạn.

Chắc chắn, bạn có thể đi xa hơn và sử dụng $[5,4]$ Padé gần đúng $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ dẫn đến lỗi tuyệt đối là $3.0\times 10^{-6}$ở giới hạn. Điều này tương đương với chuỗi Taylor để$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$.

Để cung cấp cho bạn ý tưởng về những cải tiến có thể có; xem xét điều đó$P_n$ là $[2n+1,2n]$ Padé gần đúng của $\cos(x)$ xây dựng xung quanh $x=-\frac{\pi }{2}$ và tính toán tiêu chuẩn $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$

$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$

Tất cả những điều này chỉ được thực hiện dựa trên thông tin (hàm và giá trị đạo hàm) tại $x=-\frac{\pi}{2}$.

Nhưng chúng tôi có thể cố gắng bao quát toàn bộ phạm vi và xem xét ví dụ $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ và có được

$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ sai số tuyệt đối tối đa bằng $5.96\times 10^{-8}$ và một định mức bằng $2.73\times 10^{-15}$ (là $461$ nhỏ hơn lần $\Phi_2$).

Bạn có thể nhận thấy rằng các hệ số rất gần với hệ số của $P_2$ nhưng những thay đổi nhỏ này tạo ra rất nhiều khác biệt.

Tất cả những ước tính này đã được xây dựng để trả lời câu hỏi của bạn.

Answer 2

Không có cái gọi là xấp xỉ "tốt nhất" cho một hàm, luôn có những chỉnh sửa nhỏ mà bạn có thể thực hiện để tạo ra những xấp xỉ tốt hơn.

Tuy nhiên, đối với câu hỏi của bạn, bạn có thể xoa bóp giá trị gần đúng mà bạn đã đưa ra bằng cách lưu ý rằng $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$

Answer 3

Sự gần đúng cho $\sin(x)$ trên $[-\pi/2, \pi/2]$ phù hợp với tinh thần của Bhaskara nhất là

$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$

Nó chính xác cho $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$và đạo hàm của nó bằng 0 tại các điểm cuối. Dịch sang trái$\pi/2$ để có được giá trị gần đúng $\cos(x)$ trên $[-\pi, 0]$.

Đây là một giá trị gần đúng tốt hơn về sai số tuyệt đối lớn nhất so với Padé cùng mức độ. (Thuật toán Remez có thể tìm ra giải thuật thậm chí còn tốt hơn. Xem phần 6 của giải thích này .)$[-1,1]$ cung cấp cho cái nhìn gần đúng hơn $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$