$3^{123} \mod 100$

Bạn thực sự chính xác. Tuy nhiên, có một cải tiến nhỏ. Sử dụng hàm Carmichael , bạn có thể lập luận rằng sức mạnh nhỏ hơn của$3$, cụ thể là $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. Hàm Carmichael chia một nửa hàm mẫu Euler khi đối số là số chẵn và hàm số Euler là bội số của$4$, điều đó đúng với $\lambda(100)$; do đó$3^{20}$ có thể thay thế $3^{40}$ trong lập luận.

Ở cấp độ sơ cấp hơn, bạn có thể kết xuất $3^4=80+1$ và nâng cả hai bên lên quyền lực thứ năm, do đó $3^{20}\equiv1\bmod 100$ như Định lý nhị thức cho $(80+1)^5$ cho bội số $100$ thêm $1$.

Đúng, một giải pháp thay thế:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

Chính xác! Tôi tin rằng logic của bạn không đúng. Theo như tôi có thể thấy thì đây là một ứng dụng chính xác của việc tổng quát hóa Định lý Fermat của Euler.$\phi(100) = 40$ và như vậy $3^{40} \cong 1 \mod 100$

Nếu bạn cần thuyết phục thêm, chỉ cần nhập $3^{123}$ thành https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

Một lần nữa, không thực sự cần thiết, nhưng nếu bạn cần bằng chứng cụ thể, nó sẽ có.

OP bắt đầu bằng cách tìm kiếm một mô hình nhưng tuyên bố rằng

... mặc dù nhiều cuộc kiểm tra đau đớn đã không mang lại một mô hình hữu ích rõ ràng.

Bạn có thể sử dụng một số lý thuyết ánh sáng để thực sự dự đoán hình thức và cấu trúc của mẫu.

Quan sát rằng nếu $a \in \{0,2,4,6,8\}$ và $b \in \{1,3,7,9\}$ và

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

sau đó trên thực tế $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ và $b' \in \{1,3,7,9\}$.

Đây là mẫu (lý thuyết) chính của chúng tôi và

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

Dễ dàng xác minh rằng chữ số hàng đơn vị sẽ di chuyển

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

bên trong mỗi chu kỳ trong số bốn chu kỳ này.

Xét rằng $3$là một đơn vị , chúng ta có thể tranh luận rằng một trong những$4$-xe đạp sẽ kết thúc vào

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

và không thể lặp lại cho đến khi đạt được nhận dạng.

Vì chữ số hàng chục chỉ có thể xoay vòng trên tập hợp$\{0,2,4,6,8\}$, có nhiều nhất năm trong số này $4$-các xe phải được tính toán.

Tính toán $2^{nd}$ $4$-đi xe đạp:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Tính toán $3^{rd}$ $4$-đi xe đạp:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Tính toán $4^{th}$ $4$-đi xe đạp:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Tại thời điểm này, chúng tôi thực sự không phải tính toán $5^{th}$ $4$- xe đạp kể từ khi chúng ta biết nó phải là chiếc cuối cùng.

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng thực tế rằng

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

và tìm ra các chi tiết còn lại cho câu hỏi của OP.