Các trường trung gian của phần mở rộng đơn giản $\mathbb{C}(x)$

Question

Để cho $\mathbb{C}(x)$ là lĩnh vực của các chức năng hợp lý trên $\mathbb{C}$. Tất nhiên$\mathbb{C}(x)$ là một phần mở rộng trường của $\mathbb{C}$. Câu hỏi của tôi bây giờ là: có bất kỳ trường trung gian nào giữa$\mathbb{C}$ và $\mathbb{C}(x)$? Nếu vậy, chúng ta có thể nói gì về kích thước của chúng? Nó luôn luôn là vô hạn?

Answer 1

Bản tóm tắt các nhận xét (không bao gồm kết quả đoàn tụ mà họ nên đăng riêng!) Bên dưới $K$ là viết tắt của một trường intermediae tùy ý ở giữa, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

1. Bởi vì $\Bbb{C}$là đóng đại số, nó không có phần mở rộng đại số. Do đó không có phần mở rộng hữu hạn. vì thế$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
2. Mặt khác, nếu $u=f(x)/g(x)$ là một phần tử tùy ý của $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, sau đó $x$ là số 0 của đa thức $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ vì thế $x$ là đại số hơn $K$. Vì thế$[K(x):K]<\infty$. Nhưng,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, vì vậy chúng tôi có thể kết luận rằng $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Không thể nói gì hơn, vì chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ cho mọi số nguyên dương $n$nên độ mở rộng có thể cao tùy ý.
3. Theo định lý Lüroth mọi trường trung gian$K$ thực sự là một phần mở rộng siêu việt đơn giản của $\Bbb{C}$. Nói cách khác,$K$ Là $\Bbb{C}$-isomorphic thành $\Bbb{C}(x)$.