Cách tính toán $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ từ $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ và $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?
Tôi đang xem ví dụ 4.10 (Từ chương X) của cuốn sách "Số học của các đường cong Elliptic" của Silverman, Ấn bản thứ 2, nói về Đi xuống thông qua hai đẳng thức (mệnh đề 4.9). Ví dụ là về máy tính$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ cho đường cong $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ Đường cong đó là $2$- nội sinh đến $E$ Là $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$
Chúng tôi có isogeny thông thường $\phi: E \to E'$ và đẳng thức kép $\hat \phi : E' \to E$ với $\hat \phi \circ \phi = 2$ (các công thức chính xác được xác định trong mệnh đề 4.9).
Anh ấy tính toán rằng $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ và $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$
Tôi muốn tính toán $2$-Nhóm người bán hàng $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$và từ những gì tôi hiểu, tôi cần kết hợp hai thông tin trên bằng cách nào đó (tương tự như cách bạn có thể kết hợp $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ và $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ để có được $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Bất cứ ai có thể giải thích làm thế nào tôi có thể đi về việc này?
Tái bút: Nói chung, tôi cảm thấy khá choáng ngợp với cuốn sách này, vì vậy nếu tôi có sai sót gì thì hãy cho tôi biết.
Trả lời
Trong ví dụ của bạn, thông tin thú vị bạn cần là nhận xét X.4.7 và thực tế là $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ vì các nhóm Tate-Shafarevich có liên quan là tầm thường, việc xác định thông qua " $x$-cấp phép "(ngoại trừ hai điểm xoắn $(0,0)$).
Vì vậy, chúng tôi có nhận xét X.4.7 nói rằng $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ là chính xác, biến hình thứ hai là $\phi$.
Hiện nay, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ và bản đồ $\phi$ gửi $(0,0)$ đến $0$ (điểm ở vô cùng) (điều này tất nhiên là tổng quát, vì $\phi$ là gửi 2 isogeny $(0,0)$ đến $0$), và gửi $(8,-32)$ đến một phần tử $\phi(8,-32)$, không phải $2$-torsion (mà tôi để lại cho bạn tính toán).
Vì thế $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Bây giờ bạn có thể sử dụng mô tả bạn thích về các yếu tố của $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.
Chỉnh sửa : Trong trường hợp chung, tồn tại một chuỗi chính xác tự nhiên$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ nhưng tôi không chắc chắn về những gì để đặt ở phía bên tay trái.
Một cách có thể để hiểu trình tự này là quan sát $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ là nhóm các lớp phủ Galois chưa xác minh của $E$ với nhóm Galois "$E[2]$"(và với các điểm cục bộ ở khắp mọi nơi) và 2 đẳng thức đến từ một $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: bản đô $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ tương ứng với bản đồ "sửa chữa bởi $\mathbb Z/2\mathbb Z$", giống như trong lý thuyết trường Galois thông thường.
Bản đô $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ tương ứng với việc xem từng lớp phủ Galois chưa phân loại $\psi:D\to E'$ của $E'$ với nhóm Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ đến một Galois bao gồm $E$ thông qua $\phi$, I E $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.