Cho thấy ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Câu hỏi: Giả sử$x $là một số nguyên không âm. Định nghĩa${{m}\choose {x}}=0$ nếu $x>m $. Để cho$\{p_n\}$ được chuỗi thỏa mãn $0 <p_n <1$ và $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Cho thấy$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Điều này có tương đương với chứng minh của công thức phân phối Poisson không? Tôi đang hỏi điều này bởi vì trong đề cập trạng thái của công thức Phân phối Poisson$np$ là không đổi nhưng ở đây khi $n\to\infty $ $np\to $một số hằng số$=\lambda $. Cũng trong Công thức phân phối Poisson$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ nhưng chúng tôi phải chứng minh cho bất kỳ $n $không có giới hạn. Vậy chứng minh bài toán và chứng minh công thức phân phối Poisson có giống nhau không?

Lưu ý: Không có giới hạn trong công thức trong bài toán. Chúng tôi phải chứng minh$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ không phải $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

Từ $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, chúng tôi nhận được $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ và cố gắng thể hiện điều đó $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

Giới hạn bạn đã viết là phát biểu chính thức của định lý giới hạn Poisson .

Phiên bản bạn đã thấy trước đây có một giả định ít chung hơn một chút (nó buộc $np_n = \lambda$ cho tất cả $n$thay vì $np_n \to \lambda$). Các bằng chứng sẽ rất giống nhau, nhưng có thể bạn sẽ phải làm gì đó bổ sung cho yêu cầu tổng quát hơn.

Trong cả hai câu lệnh, có một giới hạn là $n \to \infty$; Tôi không chắc ý của bạn là "chúng tôi phải chứng minh cho bất kỳ$n$ không có giới hạn. "

Answer 3

Đối với cố định $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$Như $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ vì thế$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$