Chứng minh $e^z$ là holomorphic

Question

Tôi đọc ở đâu đó rằng $e^z$là một hàm holomorphic, nhưng tôi không thể nghĩ ra cách dễ dàng để chứng minh điều đó. Tôi đã nghĩ đến việc sử dụng phương trình Cauchy Riemann, nhưng điều đó có lẽ là quá mức cần thiết. Có một cách tiếp cận đơn giản nào để chứng minh rằng hàm này là holomorphic không?

Answer 1

Nó phụ thuộc vào định nghĩa của bạn về $e^z$. Định nghĩa tiêu chuẩn nhất là xác định nó thông qua chuỗi công suất$$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$mà dễ dàng nhận thấy là hội tụ ở khắp mọi nơi. Sau đó, bạn chỉ có thể sử dụng định lý tổng quát rằng một chuỗi lũy thừa xác định một hàm holomorphic ở mọi nơi bên trong bán kính hội tụ của nó.

Answer 2

$e^{z}$ được định nghĩa là :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

Bán kính hội tụ của chuỗi này là $\infty$. Vì vậy, nó là một chức năng phân tích.

Answer 3

Các câu trả lời khác giả sử bạn đang định nghĩa cấp số nhân về chuỗi lũy thừa. Nếu bạn xác định$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, bạn thấy như sau:

1. Bởi vì cả hai hàm tọa độ đều có thể phân biệt vô hạn, $e^z$ có thể phân biệt vô hạn dưới dạng một hàm của hai biến
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Bây giờ nó chỉ đơn giản như áp dụng các phương trình Cauchy-Riemann.

---

Để giải quyết xem nó có "quá mức cần thiết" hay không - trước hết, nếu nó hoạt động, nó hoạt động . Lo lắng về mức quá mức cần thiết khi bạn thậm chí còn chưa giải quyết xong vấn đề, à,https://stackify.com/premature-optimization-evil/.

Thứ hai, khi khóa học tiếp tục, bạn nên tích lũy một danh sách các điều kiện tương đương với holomorphy ("phức có thể phân biệt tại mọi điểm trong một tập hợp mở", "thỏa mãn các phương trình Cauchy-Riemann tại mọi điểm trong miền", "bằng chuỗi lũy thừa tại mọi điểm trong một tập hợp mở ”, ...).

Thay vì cố gắng chọn ra từ "tốt nhất", có lẽ sẽ mang tính hướng dẫn hơn nếu xem qua danh sách và xem từng điều kiện áp dụng cho$e^z$. Điều đó (a) giúp bạn thực hành với toàn bộ bộ công cụ của mình và (b) giúp bạn thiết lập để phù hợp hơn với công cụ cho vấn đề trong tương lai.