Chứng minh rằng $Nullity(AB)=Nullity(B)$ và $Range(AB)=Range(B)$

Question

Hãy là lĩnh vực $K=\mathbb{R}$ hoặc là $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ là một ma trận liên quan đến một phép biến đổi tuyến tính $A: K^n\rightarrow K^m$, Ở đâu $m,n \in Z_{+}$. Chúng tôi xác định:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. Nếu $A\in K^{n\times n}$ là một ma trận khả nghịch, chứng minh rằng $AB$ có cùng số và phạm vi so với B, cho bất kỳ ma trận nào $B \in K^{n\times m}$
2. Nếu $m=n$, là mối quan hệ giữa các giá trị riêng và các giá trị riêng của ma trận $AB$ và $BA$.

Những gì tôi đã làm cho 1 là:

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

Mặt khác, chúng tôi có điều đó,

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

Và ngoài ra, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

Tôi có đúng không? Hay tôi đang làm gì sai?

Và đối với 2, tôi không chắc về mối quan hệ giữa các giá trị riêng và các giá trị riêng của ma trận AB và BA.

Tôi thực sự cảm kích sự giúp đỡ của bạn!

Answer 1

Các đối số cho (1) là đúng (chủ yếu: loại bỏ $b$ trong $bBx=0$và thay thế $\dim(B)$ bởi $\dim(K^m)$.)

Đối với (2), giả sử $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). Sau đó$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ vì thế $Bv$ là một eigenvector của $BA$ với eigenvalue $\lambda$, trừ khi $Bv=0$ (I E, $\lambda=0$).
Ngược lại, nếu$BAw=\mu w$ sau đó $Aw$ là một eigenvector của $AB$, trừ khi $Aw=0$.

Kết luận: Các giá trị riêng của $AB$ giống như của $BA$, ngoại trừ có thể đối với các giá trị riêng bằng 0 (không thể nói trong trường hợp đó).