Chứng minh thuộc tính giới hạn

Question

Tôi muốn chứng minh tài sản sau:

Để cho $(a_n),(b_n)$ được Trình tự trong $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ và $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, giả sử $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

Tại một số điểm, kịch bản của tôi đề cập đến $-(a_n-a)<\epsilon $ và $b_n - b<\epsilon$

Ai đó có thể giải thích cho tôi sự thận trọng đằng sau bước trên.

Cảm ơn trước.

Answer 1

Bạn muốn chứng minh điều đó, với điều kiện chuỗi đầu tiên hội tụ với $a$ và cái thứ hai để $b$, nó giữ $a\le b$.

Giả sử không, vậy $a>b$. vì thế$\varepsilon=(a-b)/2>0$ và chúng tôi có thể tìm thấy $n_1\ge n_0$ như vậy, cho $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Điều này dịch sang $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ Cặp bất đẳng thức đầu tiên ngụ ý $-(a_n-a)<\varepsilon$. Bạn cũng có thể cô lập$b_n-b<\varepsilon$ và dẫn đến mâu thuẫn.

Mặt khác, tôi muốn viết lại (*) đơn giản hơn là $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ và quan sát điều đó $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$, vì vậy điều này trở thành $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ và các bất bình đẳng trung tâm tạo ra mâu thuẫn.