chuỗi cấp số cộng, $\gcd(a,b)=1$

Question

Tôi có câu hỏi này về cấp số cộng.

cho một số tự nhiên $k>1$, trình tự : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

chiều dài của nó là $K$

Tôi cần chọn $L$ > 0 Số tự nhiên làm cho mọi số trong dãy tương đối nguyên tố.

và $a[i]-a[i-1]=d$ tĩnh

(không có ước số chung với bất kỳ số nào khác trong dãy $\gcd(a,b)=1$)

Answer 1

Để cho $a_i = iL + 1$ cho $i = 1,\ldots K$.

Bất cứ gì $i \ne j$, để cho $d = \gcd(a_i,a_j)$.

Từ $d$ chia cả hai $a_i$ và $a_j$, $d$ phân chia $ia_j - ja_i = i-j$.

Từ $1 \le i,j \le K$, chúng ta có $1 \le |i-j| \le K-1$. Điều này nghĩa là $$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

Nếu chúng ta chọn $L$ là bội số bất kỳ $(K-1)!$, sau đó $d|L$. Kết quả là,

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

Từ $i, j$ là tùy ý, điều này có nghĩa là bất cứ khi nào $L$ là bội số của $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$, tất cả $a_i, a_j$ là các số nguyên tố tương đối theo cặp với nhau.

Ghi chú

• $\color{blue}{[1]}$ - Nếu bạn muốn nhỏ hơn $L$, bạn có thể thay thế $(K-1)!$ bởi ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ và điều đó cũng hoạt động.