Codimension hai tán lá với bề mặt ngang

Question

Giả sử tôi có một số đóng cửa $4$-nhiều thứ khác nhau $X$ và một thứ nguyên-hai tán lá $\mathcal{F}$, cũng như một bề mặt đóng $\Sigma$ của tự giao nhau không âm mà ở khắp mọi nơi đi ngang với $\mathcal{F}$.

Vậy thì có những loại hạn chế nào đối với tán lá $\mathcal{F}$? Câu hỏi này đưa ra một số câu trả lời trong trường hợp$X$ là một bề mặt phức tạp và $\mathcal{F}$ là holomorphic, nhưng tôi quan tâm hơn đến những gì xảy ra trong trường hợp thực.

Answer 1

Trong trường hợp thực tế này, có rất ít hạn chế. Thật vậy, hãy chọn$\Sigma\subset X$ như vậy mà $X$ thừa nhận một lĩnh vực 2 mặt phẳng mịn $\xi$ (không nhất thiết có thể tích hợp) chuyển ngang sang $\Sigma$. Sau đó, có thể dễ dàng xáo trộn một chút$\xi$ để làm cho nó có thể tích hợp trên một khu vực nhỏ của $\Sigma$. Sau đó, theo một định lý của Thurston (Commentarii 1974),$\xi$, có kích thước thực $2$, có thể là rel đồng âm. $\Sigma$để trở nên tích hợp ở mọi nơi. Bạn thậm chí có thể bắt đầu với việc mở rộng$\xi$ đến một phần tán lá mà bạn lựa chọn trên bất kỳ tập hợp con thông thường nào của $X$. Vì vậy, khả năng là rất lớn.