Đặc điểm của log-lồi

Question

Tôi đọc điều đó nếu chúng ta lấy $f: \mathbb{R} \to (0, +\infty)$, như vậy cho tất cả $a \in \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{ax}f(x)$ sau đó là lồi $f$ là log-lồi (nghĩa là $\log \circ f$ là lồi).

Tôi đã cố gắng chứng minh điều đó, nhưng tôi không thể đi đến kết quả.

Tuy nhiên, tôi cũng đọc rằng nếu cho tất cả $a \in \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{ax}f(x)$ sau đó là lồi $x \mapsto (f(x))^{a}$ là lồi đối với tất cả $a > 0$. Tôi cũng không thể tìm thấy bằng chứng ... Nhưng tôi đã cố gắng chứng minh rằng nếu điều kiện cuối cùng này được xác minh, thì$f$ là lồi log.

Vì vậy, bạn có thể vui lòng giúp tôi chứng minh một trong hai câu này (hoặc câu đầu tiên, thực tế là kết quả cuối cùng tôi muốn, hoặc câu thứ hai, có thể dẫn tôi đến kết quả đầu tiên)?

Cảm ơn bạn.

Answer 1

Sửa số thực $x < y$ và $0 < \lambda < 1$. Từ$x \mapsto e^{ax}f(x)$ là lồi, chúng ta có $$ e^{a(\lambda x + (1-\lambda) y} f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda e^{ax}f(x) + (1-\lambda)e^{ax}f(x) $$ tương đương với $$ \begin{align} f(\lambda x + (1-\lambda) y) &\le \lambda e^{a(1-\lambda)(x-y)}f(x) + (1-\lambda)e^{a \lambda(y-x)}f(y) \\ &= \lambda C^{1-\lambda}f(x) + (1-\lambda)C^{-\lambda}f(y) \end{align} $$ với $C = e^{a(x-y)}$. Điều này giữ cho tất cả$a \in \Bbb R$, do đó chúng tôi có thể chọn $a$ như vậy mà $C = f(y)/f(x)$. Điều này cho $$ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le f(x)^{\lambda} f(y)^{1-\lambda} $$ và đó chính xác là điều kiện lồi cho $\log \circ f$.

Nhận xét:

• Kết luận ngược lại cũng được áp dụng: Nếu $f: \Bbb R \to (0, +\infty)$ sau đó là log-lồi $x \mapsto e^{ax}f(x)$ là lồi đối với tất cả $a \in \Bbb R$.
• Đặc điểm này có thể được sử dụng để chỉ ra rằng tổng các hàm log-lồi lại là log-lồi. .