Đánh giá $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

Đánh giá $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

Bộ $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

Vì vậy, tích phân trở thành $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

Bộ $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, vì thế $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ và $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

Nhưng câu trả lời chính xác là $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

Ai đó có thể chỉ cho tôi lỗi của tôi ở đâu và cũng là cách tốt hơn để giải quyết vấn đề được không? Cảm ơn!

Answer 1

Không có sai lầm. $C$ là một hằng số tùy ý và $-\frac 3 2+C$ chỉ là một hằng số khác $C'$. Và không có cách nào tốt hơn để trả lời câu hỏi này.

Answer 2

Phương pháp thay thế

Xem xét, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Sắp xếp lại, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Vì vậy, tích hợp cả hai bên, bạn có thể nhận được câu trả lời

Answer 3

Giải pháp của bạn đúng vì một hằng số cộng với một hằng số khác có thể được biểu diễn bằng một hằng số khác, vì vậy $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

Thay vào đó, bạn có thể tích hợp theo từng phần và cho phép $u=\ln(2x+3)$ và $dv=dx$. Sau đó$du=\frac{2}{2x+3}$ và chúng ta có thể lấy $v=x+\frac{3}{2}$. Nó theo sau đó\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} như mong đợi!