Định lý lưỡng cực

Question

Tôi gặp khó khăn với vấn đề sau trong khi xem xét chứng minh Bổ đề$1.9$(i) từ cuốn sách 'Các bài giảng về Đại số von Neumann' của Strătilă và Zsidó.

Để cho$\mathscr{B}$là một không gian Banach và$\mathscr{B}^*$là kép của$\mathscr{B}$. Để cho$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$là một không gian con vectơ đóng chuẩn sao cho$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(tức là đẳng tích đẳng áp) thông qua dạng song tuyến chính tắc trên$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Xem xét$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-căn cứ trên$\mathscr{B}$được xác định bởi họ các bán định mức$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, ở đâu$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$vì$x\in \mathscr{B}$. Để cho$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$là một$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-không gian con vectơ khép kín.

Vấn đề: Nếu$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, sau đó chứng minh rằng$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Các tác giả kêu gọi$\mathscr{M}^{\circ}$cực của$\mathscr{M}$và sau đó nói rằng kết luận tuân theo định lý lưỡng cực. Nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ tài liệu tham khảo nào cho 'định lý lưỡng cực' đó. Vì vậy, ai đó có thể giúp tôi với một tài liệu tham khảo thích hợp cho 'định lý lưỡng cực' đó cùng với giải pháp. Cảm ơn trước.

Answer 1

Để cho$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Chúng ta có$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$theo định nghĩa của$\mathscr M^o$. Giả sử rằng có tồn tại$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Bằng$\mathscr M$là lồi và$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-c kín, bởi Hahn-Banach có tồn tại$\varphi$, tuyến tính và$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-liên tục, với$\varphi(z)=1$và$\varphi|_{\mathscr M}=0$. Các$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-các hàm liên tục trên đối ngẫu của không gian nén cục bộ chính xác là những hàm ở trước (ví dụ, xem Định lý V.1.3 trong Khóa học về Phân tích Hàm của Conway ); Vì thế$\varphi\in\mathscr B_*$. sau đó$\varphi\in\mathscr M^o$; bằng$z\in\mathscr M^{oo}$, chúng ta sẽ có$\varphi(z)=0$, một sự mâu thuẫn. Cho nên$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.