Độ cong Ricci và Độ cong mặt cắt

Question

Nếu chúng ta xác định độ cong Ricci cho một khung chuẩn, chúng ta có thể đơn giản hóa công thức độ cong mặt cắt để nhận được:

$$Ric(v, v) = \sum R(e_i, v)v \cdot e_i$$

Tuy nhiên, tôi nhận được một công thức khác với công thức được trình bày thông thường. Giả sử chúng tôi thay thế$v$ cho các thành phần của nó và sử dụng độ tuyến tính của tensor độ cong Riemann, chúng ta có thể viết:

$$Ric(v, v) = \sum R(e_i, v^je_j)v^ke_k \cdot e_i$$ $$Ric(v, v) = \sum v^j v^k R(e_i, e_j)e_k \cdot e_i$$ $$Ric(v, v) = \sum v^j v^k R^m_{kij}e_m \cdot e_i$$

Nhưng đây là điểm mà tôi gặp một chút rắc rối. Không thể thay thế được$e_m \cdot e_i$ cho các thành phần tensor hệ mét $g_{mi}$, sẽ cho tôi:

$$Ric(v, v) = \sum v^j v^k R^m_{kij}g_{mi}$$ $$Ric(v, v) = \sum v^j v^k R_{ikij}$$

Ở giai đoạn này, tôi định nghĩa:

$$R_{kj} = R_{ikij}$$

Nhưng điều đó có vẻ khó xử vì thông thường chúng ta sẽ:

• Hợp đồng trên một chỉ số trên và dưới (và)
• Định nghĩa thông thường có $R_{kj} = R^i_{kij}$

Vì vậy, tôi muốn tìm ra nơi logic mà tôi đã áp dụng sai ở đây

Answer 1

Sự nhầm lẫn về chỉ số trên / dưới này phát sinh khi bạn chọn một khung chính thống, vì trong trường hợp này $g_{ij} = \delta_{ij}$.

Định nghĩa của độ cong Ricci là $ R_{kj} = R^i_{kij}$, nơi chúng tôi đã sử dụng quy ước tổng kết Einstein. Nói chính xác là nó$$ R_{kj} = \sum_i R^i_{kij}, $$ sau đó theo định nghĩa $$ R_{kj} = \sum_i R^i_{kij} = \sum_{i,l} g^{li} R_{lkij}. $$ Sử dụng khung chính thống, chúng tôi có $$ \tag{1} R_{kj}= \sum_{i,l} \delta_{il} R_{lkij} = \sum_{i} R_{ikij}. $$

Nếu bởi $R_{kj} = R_{ikij}$ ý bạn là (1), vậy thì không có gì nhầm lẫn, nhưng cách viết tồi: bạn đã sử dụng ký hiệu tổng kết Einstein ngay cả cho $R_{ikij}$, không bất biến khi thay đổi tọa độ (tùy ý).

Thực tế là chúng tôi đã sử dụng ký hiệu Einstein chỉ cho tensor. Khi bạn muốn tính toán bằng cách sử dụng một khung cụ thể, chúng tôi sẽ trung thực và viết ra tất cả các tổng kết. Đôi khi chúng tôi thậm chí sử dụng các chỉ số khác nhau ($\alpha, \beta, \gamma$) để phân biệt nó với các chỉ số cho cơ sở tọa độ ($i, j, k$).