Endomorphisms của đại số Cuntz

Question

Hãy xem xét đại số Cuntz $\mathcal{O}_n$ với $n \geq 2$ và để $\text{End}(\mathcal{O}_n)$ là tập hợp của tất cả (unital) $\ast$-endomorphisms của $\mathcal{O}_n$. Tôi đã tự hỏi liệu có tồn tại một phần tử$x \in \mathcal{O}_n$ sao cho bản đồ đánh giá $\text{End}(\mathcal{O}_n) \rightarrow \mathcal{O_n},$ $\phi \mapsto \phi (x)$ bị thương.

Nếu không, cái gì là nhỏ nhất $k \in \mathbb{N}$ mà $x\in \mathcal{O}_n \otimes \mathbb{C}^k$ tồn tại sao cho bản đồ $\text{End}(\mathcal{O}_n) \rightarrow \mathcal{O}_n \otimes \mathbb{C}^k$ được cho bởi $\phi \mapsto (\phi \otimes \mathrm{id}) (x)$là bị thương? Là nó$k=n-1$?

Answer 1

Đây là sự thật: $\mathcal O_n$ được tạo đơn lẻ, tức là có tồn tại $x\in \mathcal O_n$ như vậy mà $C^\ast(x) = \mathcal O_n$. Đặc biệt, nếu$\phi, \psi \colon \mathcal O_n \to B$ Chúng tôi $\ast$-homomorphisms như vậy $\phi(x) = \psi(x)$, sau đó $\phi = \psi$.

Có thể có một cách rất trực tiếp để hiển thị điều này, nhưng đây là một bằng chứng cho $n\geq 2$ ($n\neq \infty$): Chúng ta sẽ sử dụng Định lý 1 từ bài báo [C. Olsen và W. Zame, Một số đại số C * với một bộ tạo đơn, Trans. Amer. Môn Toán. Soc. 215 (1976), 205–217], nói rằng nếu$A$ là một người $C^\ast$-algebra được tạo bởi $k(k+1)/2$ các yếu tố trong đó $k(k-1)/2$ là tự phụ, sau đó $M_k(A)$ được tạo đơn lẻ.

Để cho $s_1,\dots, s_n \in \mathcal O_n$là máy phát điện chuẩn. Sau đó$M_n(\mathcal O_n) \to \mathcal O_n$ được cho bởi $(a_{i,j})_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{i,j=1}^n s_i a_{i,j} s_j^\ast$ là một $\ast$-somorphism. Đặc biệt,$M_{n^2}(\mathcal O_n)\cong \mathcal O_n$, vì vậy nó đủ để hiển thị rằng $M_{n^2}(\mathcal O_n)$ được tạo đơn lẻ.

Lưu ý rằng $\mathcal O_n$ được tạo ra bởi $2n$ các yếu tố tự liên kết, cụ thể là $s_j + s_j^\ast$ và $i(s_j - s_j^\ast)$ cho $j=1,\dots, n$. Đang lấy$A= \mathcal O_n$ và $k=n^2$ trong định lý trên (sử dụng $n^2(n^2-1)/2 \geq 2n$ cho $n\geq 2$), nó theo sau đó $M_{n^2}(\mathcal O_n) \cong \mathcal O_n$ được tạo đơn lẻ.

Lưu ý rằng định lý trên là có tính xây dựng, vì vậy nếu muốn, người ta có thể viết ra một trình sinh đơn rõ ràng của $M_{n^2}(\mathcal O_n)$và sử dụng đẳng cấu $M_n(M_n(\mathcal O_n)) \cong M_n(\mathcal O_n) \cong \mathcal O_n$ Tôi đã mô tả ở trên để thể hiện yếu tố này trong $\mathcal O_n$.

Nó cũng đúng với $\mathcal O_\infty$, nhưng tôi thiếu một bằng chứng cơ bản. Bạn có thể sử dụng máy móc sâu hơn nhiều, cụ thể là$\mathcal O_\infty$ Là $\mathcal Z$-stable (tức là $\mathcal O_\infty \otimes \mathcal Z \cong \mathcal O_\infty$ Ở đâu $\mathcal Z$là đại số Jiang-Su). Sau đó, nó tiếp theo từ kết quả chính của [Thiel, Hannes; Winter, Wilhelm Bài toán máy phát điện cho đại số C ∗ ổn định. Dịch. Amer. Môn Toán. Soc. 366 (2014), không. 5, 2327–2343], nói rằng mọi$\mathcal Z$-ổn định $C^\ast$-algebra được tạo đơn lẻ.

Answer 2

Mặc dù không chính xác những gì OP nghĩ đến, nhưng có một đặc điểm thú vị khác về các dạng nội dung của $\mathcal O_n$xét về các yếu tố đơn lẻ. Cụ thể là có sự tương ứng 1-1 giữa các hình thức cuối cùng của$\mathcal O_n$ và các yếu tố đơn nhất của $\mathcal O_n$ đưa ra như sau:

• Nếu $u$ là một phần tử đơn nhất, một phần tử định nghĩa một endomorphisms $\varphi _u$ bằng cách gửi từng máy phát điện $S_i$ đến $uS_i$.

• Ngược lại, cho một endomorphism $\varphi $, một định nghĩa phần tử đơn nhất $$ u_\varphi = \sum_{i=1}^n\varphi (S_i)S_i^*. $$

Trong thực tế, rất dễ dàng để chứng minh rằng những tương ứng này là nghịch đảo của nhau.