Hạn chế do thay thế

Question

Chúng ta thường bắt gặp tích phân nơi chúng ta sử dụng các phép thay thế khác nhau để giảm vấn đề của chúng ta. Một phổ biến là phép thay thế lượng giác.

Khi chúng tôi thay thế $x=\sin \theta$, không phải chúng tôi đang hạn chế $x$các giá trị của $[-1,1]$?

Đây là một ví dụ nhanh:

$$\int_2^3 xdx$$

Trong trường hợp này, $x$ luôn ở trong $[2,3]$. Cũng vậy$x=\sin \theta$ một sự thay thế hợp lệ ở đây?

Nói chung, tôi muốn nói rằng phép thay thế trong tích hợp vô thời hạn là hợp lệ, nếu và chỉ khi biến được thay thế có cùng phạm vi với biến mới.

Answer 1

Bạn 'chạy' một tích phân xác định trên một tập hợp. Theo một cách nào đó, bạn có thể nghĩ về một 'tích phân xác định' như một thủ tục nhận vào một tập con (S) của$\mathrm{R}$ và cho biết diện tích của một hàm bên dưới đường cong và trục x trong khoảng đó.

Khi bạn thực hiện thay đổi các biến, vì bạn đang thay đổi hàm mà bạn đang tích phân, bạn cũng phải thay đổi tập bạn đang tích hợp. Nếu bạn có đang tích hợp trên một tập hợp$[a,b]$ và bạn thay thế biểu mẫu dưới đây:

$$ x= g(t)$$

Sau đó, trong miền mới của $t$, miền của bạn được chuyển đổi như vậy:

$$ [a,b] \to [ g^{-1} (a) , g^{-1} (b) ] $$

Bạn có thể nghĩ rằng khi chúng ta thay đổi 't', chúng ta sẽ thay đổi $g(t)$và điều này, đến lượt nó, thay đổi đầu ra. Và, vì vậy, vâng , chúng tôi chỉ có thể thay thế nếu$g(t)$ có thể mở rộng tên miền gốc mà chúng tôi đã tích hợp.

Như trên, nếu bạn đang thực hiện thay đổi các biến, trước hết, bạn cần đảm bảo rằng có một hàm nghịch đảo được xác định rõ của hàm mới mà bạn đang tích hợp để bạn có thể thay đổi giới hạn của mình một cách hợp lý.

Trong trường hợp cụ thể, có vẻ như chúng tôi không thể tìm thấy $ \sin^{-1} (2)$ hoặc là $ \sin^{-1} (3)$trong khi bị ràng buộc với tập hợp các thực. Và do đó, sự thay thế đó không khả thi trong trường hợp này.