Hạn chế Weil và Mở phân biệt
Tôi có một số câu hỏi liên quan về Hạn chế Weil. Để cho$E/F$ là một phần mở rộng trường và để $A$ hạt đậu $E-$đại số học. Giả sử rằng tất cả các hạn chế liên quan của vô hướng tồn tại. Chúng tôi có một bản đồ định mức$n: A \rightarrow RA$. Tôi muốn thể hiện điều đó cho$f \in A$ chúng ta có $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (đây là vấn đề 11.4.7 (6) trong Nhóm Đại số Tuyến tính của Springer).
Sử dụng tính hài hước, cho bản đồ $A \rightarrow A_f$, chúng tôi có một bản đồ cảm ứng $RA \rightarrow R(A_f)$ và kể từ khi $n(f) \in RA$ được ánh xạ tới một thứ gì đó có thể đảo ngược trong $R(A_f)$, theo tính chất phổ quát, sự biến hình $RA \rightarrow R(A_f)$ các yếu tố thông qua $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. Tuy nhiên, tôi không chắc chắn về cách tiếp tục ở đây.
Một quan điểm thống nhất hơn ở đây có lẽ được đưa ra bởi những người chơi quan điểm và suy nghĩ một cách tương đối. Vì vậy, ở đây, làm việc trên một sơ đồ cơ sở$S' \rightarrow S$, cho một $S$-kế hoạch $Y$ và một $S'$-kế hoạch $X$ chúng ta có
$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$
Hơn nữa, trong cài đặt này, chúng tôi biết rằng việc áp dụng các hạn chế của vô hướng sẽ đi kèm với thay đổi cơ sở. Vì vậy, câu hỏi của tôi là; công thức sơ đồ của câu hỏi trên là gì? Để cho$X=Spec(A)$ hạt đậu $S'$kế hoạch. Sau đó, ấn tượng của tôi là sơ đồ thay đổi cơ sở cho bản địa hóa sẽ là$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.
Sau đó, bằng một lập luận dễ hiểu, chúng ta có
$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.
Mặc dù nó có vẻ gần gũi, tôi không thể hoàn toàn tìm ra liệu đây có phải là tương tự chính xác của câu lệnh ở trên hay không. Hơn nữa, ở đây có vẻ như tôi thậm chí không giới thiệu bản đồ quy chuẩn, hoặc sử dụng bất kỳ thuộc tính phổ quát nào về bản địa hóa, vì vậy tôi không chắc về bản thân mình.
Vui lòng cho tôi biết nếu bạn có bất kỳ nhận xét nào hoặc nếu tôi nên làm rõ bất cứ điều gì.
Trả lời
$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $
Tôi muốn cho bạn biết một cách để suy nghĩ về điều này mà tôi nghĩ là có tính hướng dẫn. Tôi hy vọng bạn cảm thấy tương tự mặc dù, rất có thể, nó nằm ngoài tầm nhìn của những gì Springer thực sự đang thảo luận.
Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng $ E / F $ là Galois và để tôi biểu thị bằng $ \ Gamma $ nhóm $ \ mathrm {Gal} (E / F) $ và chúng ta biểu thị một phần tử chung là $ \ Gamma $ của $ \ sigma $ hoặc $ \ tau $ .
Chúng ta hãy bắt đầu bằng cách xác định cho tất cả các $ \ sigma $ trong $ \ Gamma $ các $ E $ -algebra
$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$
trong đó ký hiệu này có nghĩa là chúng ta đang lấy tích tenxơ của $ E $ -algebras trong đó $ E \ đến A $ là bản đồ cấu trúc và $ E \ đến E $ là bản đồ được cung cấp bởi $ \ sigma $ . Chúng tôi coi đây là một đại số $ E $ bằng cách định nghĩa $ e (a \ otimes b): = a \ otimes (eb) $ .
Hãy lưu ý rằng chúng tôi có một bản đồ của $ F $ -algebras
$$ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$
Lưu ý rằng bản đồ này không phải là $ E $ -linear. Trong thực tế,
$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$
vì vậy $ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma $ là $ \ sigma $ -linear.
Bây giờ chúng ta coi $ E $ -algebra
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$
trong đó sản phẩm tensor ở phía bên phải là sản phẩm tensor của $ E $ -algebras. Chúng ta sẽ biểu thị một tensor đơn giản tổng quát trong $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ bằng $ \ displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ (nghĩa là $ \ sigma ^ \ text {th} $ -cộng độ trong tensor đơn giản là $ a_ \ sigma $ ). Lưu ý rằng $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ mang $ \ Gamma $ -action tự nhiên bằng cách hoán vị các tọa độ hoặc rõ ràng hơn là
$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$
Lưu ý rằng hành động của $ \ Gamma $ không phải là $ E $ tuyến tính mà là $ F $ -tuyến tính.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét $ F $ -algebra $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ - $ \ Gamma $ -điểm cố định của $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Chúng tôi hiển nhiên bao gồm $ F $ -algebras
$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$
Ít rõ ràng hơn là bản đồ quy nạp của $ E $ -algebras
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
là một đẳng cấu của $ E $ -algebras. Trên thực tế, nó thực sự là một đẳng cấu của $ E $ -algebras với hành động $ \ Gamma $ trong đó $ \ Gamma $ tác động lên nguồn bằng hành động của nó trên $ E $ !
Tại sao $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ hoặc $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ lại quan trọng ? Vâng, lưu ý rằng đối với bất kỳ $ F $ -algebra $ R $ nào , bản đồ rõ ràng
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ to \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
là một phản đối trong đó hành động $ \ Gamma $ trên
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) $$
lấy từ đồng hình $ \ alpha $ thành $ \ sigma \ circle \ alpha \ circle \ sigma ^ {- 1} $ trong đó $ \ sigma ^ {- 1} $ đang tác động lên $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E $ theo hành động của nó đối với $ E $ và hành động của $ \ sigma $ đối với $ R \ otimes_F E $ cũng tác động của $ E $ .
Nhưng, chúng tôi đã lưu ý rằng chúng tôi có một đẳng cấu
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
trong tổng số $ E $ -algebras với $ \ Gamma $ -action. Như vậy, chúng ta thấy rằng
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ left (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
nhưng ánh xạ $ \ Gamma $ -equivariant của $ E $ -algebras $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ đến R \ otimes_F E $ là gì? Vâng, theo định nghĩa của sản phẩm tensor trên $ E $ , bộ sưu tập các bản đồ của $ E $ -algebras
$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ đến R \ otimes_F E $$
trong đó chúng tôi viết tắt $ f _ {\ mathrm {id}} $ thành $ f $ sao cho bất kỳ bộ sưu tập nào $ a_ \ sigma \ in A ^ \ sigma $ bạn có
$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$
Nói cách khác, bạn thấy rằng dữ liệu đó hoàn toàn được xác định bởi $ f $ .
Nói cách khác, tổng hợp tất cả mọi thứ, có một chuỗi các phép toán tự nhiên
$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$
hay nói cách khác, chúng tôi đã chỉ ra rằng
$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ right) $$
Rõ ràng hơn, chúng tôi có một sự phản đối
$$ J: \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ xấp xỉ} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
được đưa ra bằng cách lấy $ f $ thành $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .
Bây giờ, điều này liên quan gì đến bản đồ định mức? Lưu ý rằng chúng ta có một bản đồ nhân
$$ N: A \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$
mà chúng tôi gọi là bản đồ định mức . Lưu ý rằng bản đồ này không phải là phụ gia nhưng có hình ảnh trong $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ .
Do đó, nếu $ a \ in A $ thì $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . Với cuộc thảo luận ở trên của chúng tôi, bây giờ dễ dàng xác minh rằng
$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$
Thật vậy, bản đồ của $ F $ -schemes là gì
$$ \ Spec (R) \ đến D (N (a)) $$
nhưng một bản đồ của $ F $ -algebras
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ đến R $$
sao cho $ N (a) $ ánh xạ tới một đơn vị. Bản đồ của $ E $ -schemes là gì
$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ to \ Spec (A) $$
nhưng một bản đồ của $ E $ -algebras
$$ A \ đến R \ otimes_F E $$
Sau đó, lưu ý rằng dưới sự phản đối ở trên của chúng tôi
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ xấp xỉ} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
một người thấy điều đó
$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$
và do đó $ f (N (a)) $ là một đơn vị iff $ J (f) (a) $ là. Đây chính xác là những gì chúng tôi muốn.
Hãy để tôi nói một lời cuối cùng về mối quan hệ giữa bản đồ định mức là gì
$$ N: A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
và các phiên bản quen thuộc hơn của bản đồ định mức. Cụ thể, chúng ta hãy giả sử rằng có một số $ F $ -algebra $ B $ sao cho $ A = B \ otimes_F E $ . Sau đó, chúng tôi lưu ý rằng chúng tôi có một đẳng cấu của $ E $ -algebras
$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ to A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$
Với điều này, người ta có thể chỉ ra rằng có một đẳng cấu của $ E $ -algebras
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$
Hơn nữa, không khó để kiểm tra rằng bản đồ tự nhiên
$$ B \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
là một chất đẳng cấu. Như vậy, chúng ta thấy rằng bản đồ định mức là bản đồ
$$ N: B \ otimes_F E = A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$
Bây giờ, hãy để $ x \ in B \ otimes_F E $ hành động ở bên trái $ B \ otimes_F E $ bằng phép nhân trái biểu thị giá trị này bằng $ \ ell_x $ . Vì $ B \ otimes_F E $ là một mô-đun $ B $ hữu hạn miễn phí , nên người ta có thể coi $ \ det (\ ell_x) \ trong B $ . Sau đó, theo các đặc điểm trên, một người có $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .