ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$

Question

Tôi có ODE sau:

$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$

Tôi bị mắc kẹt khi cố gắng đưa nó về dạng tuyến tính. Tôi đã thử$\sin (2y) = \sin y \cos y $ và sau đó chia ODE cho $( \cos y ) ^{-1} $. Điều này khiến tôi chẳng ra gì nên tôi đã thử chia cho$( \sin y )^{-2} $thay thế. Tôi cũng bị mắc kẹt. Tôi nghĩ tôi cần thay người nhưng tôi không biết cái nào.

Cảm ơn.

Answer 1

DẤU

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \ ngụ ý \ sec ^ 2 y \ y '= t'$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$

Answer 2

$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ Nhân với $2x'$ và thay thế $u=x^2$: $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ Nhân với $e^u$: $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ Tích hợp. $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$

---

Lưu ý rằng bạn cũng có thể viết lại DE thành: $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ Và tích hợp.