PDE đồng nhất, thay đổi biến
Tôi có một PDE $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ đồng nhất cho $\xi$, Ở đâu $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ là chức năng của $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, đến lượt nó là các chức năng của $\xi$ (vì thế, $\dfrac{df}{d \xi}$ là đạo hàm toàn phần).
tôi cũng có $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, Ở đâu $y,z\in\mathbb{R}$và một người nói rằng một khi PDE đồng nhất trong $\xi$ Tôi có $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
Tôi đã bỏ lỡ khoảng cách này. Tôi tưởng tượng rằng tôi có thể nhân ODE đầu tiên với$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, vì thế
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
Nhưng tôi không chắc. Thật vậy, tôi muốn biết làm thế nào trạng thái này chỉ từ thực tế của sự đồng nhất.
Cám ơn rất nhiều.
Liên quan: Bình đẳng giữa hai tổng phái sinh
Trả lời
Giả sử $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ và $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ là một chức năng của $n$biến. Bằng cách nói rằng$x_i=x_i(\xi)$, sau đó $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, sau đó $C$ là một đối tượng dimentional trong $\textbf{R}^n$ và do đó $C$ là một đường cong của $\textbf{R}^n$. Sau đó$$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ là đạo hàm của $f$ allong $C$ (hoặc tổng đạo hàm của $f$ tất cả các đường cong $C$). Bạn cũng có phương trình:$$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ Nếu $\xi=u y$, sau đó $\frac{d\xi}{dy}=u$. Vì thế$$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ Điều này trả lời câu hỏi đầu tiên của bạn về sự thay đổi của các biến.
Về tính đồng nhất
Tuy nhiên, nếu $f$ là hàm thuần nhất thì chúng ta còn có nhiều
Nếu chức năng $f$ đồng nhất về mức độ $\lambda$. Sau đó thiết lập$x_i=uy_i$ trong phương trình (1) chúng ta có, (biết rằng $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ và $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ là đồng nhất tức là $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ và $(ux_1)=ux_1$ của độ 1): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (Đó là vì khi $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ đồng nhất về mức độ $\lambda$, sau đó $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ đồng nhất về mức độ $\lambda-1$ I E $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). Do đó khi$\lambda=1$, thì (3) trở thành: $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ Do đó nếu $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ là thuần nhất bậc 1, thì phương trình (1) là PDE thuần nhất (bất biến dưới bất kỳ phép biến đổi nào của các biến có dạng $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).