Phép tính Schubert

Question

Để cho $X = Gr(2,4)$ Grassmannian phức tạp của $2$-các máy bay trong $V = \Bbb C^4$ và $S$ bó căng thẳng, $Q$gói thương số. Vòng cohomology được tạo ra bởi$c_1(S), c_2(S)$ với quan hệ $c(S)c(Q) = 1$, đến từ chuỗi gói vectơ ngắn chính xác $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Một người sẽ nhận được $c_1(S)^4 = 1$hoàn toàn là từ những mối quan hệ này nhưng tôi không thể làm như vậy. Ai đó có thể giải thích làm thế nào để làm điều đó?

Answer 1

Đầu tiên, $c_1(S)^4 = 2$, không phải 1. Bản thân việc tính toán khá dễ dàng. Hãy để tôi biểu thị$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Sau đó, các mối quan hệ là$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Đầu tiên cho $b_1 = -a_1$, thứ hai cho $b_2 = a_1^2 - a_2$, và hai cái cuối cùng cho $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Sự kết hợp của hai giá trị bằng nhau cuối cùng cho $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ vì thế $a_1a_2^2 = 0$. Điều này có nghĩa là vòng cohomology được kéo dài qua$\mathbb{Z}$ bởi $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, và đó $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ mà chuyển thành bình đẳng bắt buộc $c_1(S)^4 = 2$.