Số đo Haar có bất biến dưới phép liên hợp không?

Question

Biểu thị số đo Haar trên nhóm đơn nhất $U(\mathcal X)$ bởi $\eta$. Phương trình này có đúng không (giả sử tích phân tồn tại):

$\int d\eta(U) f(U) = \int d\eta(U) f(U^\dagger)$?

Về mặt trực giác, điều này có ý nghĩa vì việc chọn ngẫu nhiên $U$ có vẻ giống như việc chọn ngẫu nhiên $U^\dagger$, nhưng tôi không chắc làm thế nào để chứng minh điều này.

Answer 1

Tôi sẽ trả lời câu hỏi này trong một bối cảnh chung hơn. Bạn có thể biết rằng định lý Haar cho bạn biết rằng trên bất kỳ nhóm nhỏ gọn cục bộ nào$G$, có một biện pháp bất biến bên trái (Borel) duy nhất $\mu$, lên đến một hằng số dương. Bất biến trái có nghĩa là$\mu(g A)=\mu(A)$ bất cứ gì $g\in G$ và bộ (có thể đo lường) $A\subset G$. Đây là biện pháp Haar (bên trái-) trên$G$.

Đối số tương tự tạo ra một giá trị bất biến phải duy nhất, lên đến một hằng số. Lưu ý rằng chúng ta luôn có thể biến một độ đo Haar bất biến bên trái thành một độ đo Haar bất biến bên phải bằng cách lấy nghịch đảo:$\tilde\mu(A) := \mu(A^{-1})$. Đó chính là điều bạn đang quan tâm.

Đối với một số nhóm nhất định, các phép đo Haar bất biến trái và phải trùng hợp (nhóm đơn phương) và nhóm đơn nhất $U(d)$là một nhóm như vậy. Đối với những nhóm này, tuyên bố của bạn là đúng. Bằng chứng là đơn giản:

Tính đơn phương thức ngụ ý rằng "nghịch đảo" của số đo Haar chuẩn hóa $\mu$ trên $U(d)$ bản thân nó là một thước đo Haar bất biến trái và phải bất biến trên $U(d)$. Bởi sự độc đáo,$\tilde\mu$ chỉ có thể khác nhau bởi một hằng số dương từ $\mu$. Tuy nhiên, rõ ràng là cả hai biện pháp đều được bình thường hóa, do đó$\tilde\mu = \mu$.