số thanh toán so với số bao gồm

Question

Chỉ muốn kiểm tra lại xem bổ đề trên trang 9 của trang trình bày này có đúng không: http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Bổ đề: $N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

Bằng chứng: Nếu $f$ là trong $2\epsilon$-dấu ngoặc $[l,u]$, thì nó nằm trong quả cầu bán kính $\epsilon$ xung quanh $(l+u)/2$.

Tôi nghĩ rằng bằng chứng có nghĩa là gì, nếu một tập hợp $2\epsilon$- nắp đậy chân đế $\cal F$, thì tập hợp này cũng là tập hợp các quả cầu bán kính $\epsilon$ điều đó có thể bao gồm $\cal F$. Vì có thể có các tập hợp bán kính khác của quả cầu$\epsilon$ điều đó có thể bao gồm $\cal F$, số bao gồm không lớn hơn số bao.

Tôi chưa tìm thấy kết luận tương tự trong bất kỳ cuốn sách giáo khoa nào tôi có thể tìm thấy cho đến nay (không chắc có phải vì kết luận này quá tầm thường), vì vậy tôi không hoàn toàn tự tin để nói nó đúng hay sai. Tôi thực sự đánh giá cao nó nếu ai đó có thể khai sáng cho tôi !!

Answer 1

Công phu của bạn về cơ bản là đúng, ngoại trừ bản thân các dấu ngoặc thì không $\|\cdot\|$-những quả bóng.

Nếu $[l,u]$ là một $2\epsilon$-bracket, thì nó được chứa trong $\|\cdot\|$-bóng bán kính $\epsilon$ tập trung tại $(l+u)/2$, từ $l \le f \le u$ ngụ ý $$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Vì vậy, một bao gồm $2\epsilon$-các chân đế có thể được thay thế bằng một nắp lớn hơn $\epsilon$-$\|\cdot\|$-bóng có cùng cardinality.