Stone-Weierstrass như định lý.

Question

Để cho $f$ là một hàm liên tục có giá trị thực trên $[-1,1]$ như vậy mà $f(x) = f(-x),$ cho tất cả $x \in [-1,1].$ Hiển thị điều đó cho mọi $\varepsilon \gt 0$ có một đa thức $p(x)$ với các hệ số hữu tỉ sao cho mọi $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Làm thế nào để tôi chứng minh điều này? Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Cảm ơn trước.

Answer 1

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh điều sau đây.

1. Giả sử $p$ là một đa thức trên $[-1, 1]$ và để $\varepsilon>0.$ Tồn tại một đa thức $q$ Với hệ số hữu tỉ sao cho $\|p-q\|<\varepsilon.$

Bằng chứng. Để xem điều này, hãy$\deg(p)=n$ và để $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Lựa chọn hợp lý $b_i$ như vậy mà $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Bây giờ hãy quan sát điều đó cho bất kỳ $x\in [-1, 1]$ chúng ta có $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Bây giờ, điều thứ hai cần chứng minh là một hàm chẵn $f$ Có thể được tính gần đúng bằng một đa thức chẵn trong $x^2.$ Tôi tin rằng (vì nhận xét của bạn) rằng bạn không gặp khó khăn gì khi thể hiện điều này.

Tôi hy vọng bây giờ bạn có thể thấy cách xác nhận quyền sở hữu của bạn.