Sự cố trên không gian con

Question

Tôi đang nghiên cứu về một số câu đố và tôi nhớ mình đã gặp phải vấn đề này vào năm ngoái và tôi không thể đi đến đâu với nó. Ngay cả bây giờ tôi cũng khá bối rối. Tôi đã tự hỏi nếu các bạn có bất kỳ ý tưởng. Đây là vấn đề:

Để cho $ V $ là một không gian vectơ và hãy $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $là một số nguyên. Để cho$ \{V_i\} $ là một bộ sưu tập của $ n $-không gian con thứ nguyên của $ V $ với tài sản đó $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ Cho mọi $ i\neq j $. Chứng tỏ rằng ít nhất một trong các khoản lưu giữ sau:

(tôi tất cả $ V_i $ chia sẻ chung $ (n-1) $-không gian con thứ nguyên.

(ii) Có một $ (n+1) $-không gian con thứ nguyên của $ V $ chứa tất cả $ V_i $.

Answer 1

Trước tiên, hãy để chúng tôi hiển thị những điều sau:

Bất cứ gì $i,j,k$, nếu chúng ta có $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ sau đó $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Lưu ý rằng $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$, vì vậy đây là ứng cử viên duy nhất của chúng tôi cho $n+1$-dimensional superspace.

Bây giờ nếu $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$, chúng tôi biết rằng tồn tại một vectơ $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ độc lập tuyến tính với $V_j$. Nhưng kể từ khi$V_i\cap V_j$ là một $n-1$ không gian con chiều của $n$-không gian chiều $V_i$, chúng tôi hiểu điều đó $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

Bây giờ, tất cả những gì chúng ta phải tranh luận là nếu $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ cho một số $i_0$, sau đó cho bất kỳ $i$ như vậy mà $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$, chúng ta vẫn phải có $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Điều này sau kể từ $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. Nếu không thì,$V_{i_0}$ sẽ chứa $n-1$ không gian con chiều $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ và do đó, tính thứ nguyên, chúng ta sẽ có $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ Do đó, áp dụng phần trước, chúng tôi có $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

Nói chung, chúng tôi đã thiết lập mong muốn.