Tại sao chúng tôi có $\hbar$ trong quan hệ giao hoán?
Hãy nghĩ về hằng số Planck theo độ dốc của quan hệ phân tán trường điện từ, $E=\hbar \omega$. Hằng số Planck không phụ thuộc vào điện tích electron, cả hai đều có thể được thay đổi tỷ lệ miễn là hằng số cấu trúc mịn không thay đổi. Tuy nhiên, đôi khi rất tiện lợi khi sử dụng cả hai.
Khi bắt đầu học QM, trước khi đến với QED, chúng ta được dạy rằng hằng số Planck xuất hiện dưới dạng bội số của $i$trong quan hệ lượng tử hóa chính tắc. Tại sao??
Đừng hiểu sai ý tôi, tôi hoàn toàn đồng ý với thực tế là nó xuất hiện trong các nghiên cứu về bộ dao động. Nó có thể đơn giản là một đại lượng có thứ nguyên trong đó các đại lượng khác có cùng đơn vị được biểu thị.
Nhưng chúng ta thường được nói rất khác. Với tinh thần "số này$\hbar$ trong $[q,p]=i\hbar$ là hằng số Planck có giá trị là ..., và nó đặt ra thang đo mà vật lý bắt đầu là lượng tử ".
Hãy tưởng tượng một thế giới không có QED, chỉ có các hạt quark và gluon tương tác mạnh. Họ sẽ đưa số nào vào quan hệ giao hoán khi dạy lớp dưới?
Trả lời
Câu hỏi này minh họa một trong những thách thức cơ bản trong dạy học vật lý. Chúng ta cần phải học những thứ dễ dàng hơn trước, bởi vì chúng ta là con người, nhưng điều đó mâu thuẫn trực tiếp với mong muốn tìm hiểu mọi thứ theo một trình tự rõ ràng về mặt logic (trước tiên là tiên đề sâu sắc nhất và mãi mãi sau đó suy ra mọi thứ khác từ chúng).
Chúng ta học hỏi $E=\hbar\omega$cho photon trước, vì nó dễ dàng hơn. Sau đó, chúng ta học QM phi tương đối tính, và sau đó chúng ta học QED. Nhưng lý do cho sự xuất hiện của cùng một hằng số$\hbar$ ở cả hai $E=\hbar\omega$ (đối với photon) và trong $[q,p]=i\hbar$ QM phi tương đối tính (không có photon) đến từ QED!
Đối với trường hợp cụ thể này, đây là một giải pháp khả thi: sau khi học sinh biết rằng $E=\hbar\omega$đối với photon, hãy chỉ ra rằng đây là một trường hợp đặc biệt của một quan hệ có tác dụng đối với các hạt có tất cả khối lượng, không chỉ các hạt không khối lượng. Đặc biệt, mối quan hệ tương tự cũng xảy ra đối với các hạt khối lượng lớn trong QM phi tương đối tính. Bây giờ, sau khi giới thiệu một số điều cơ bản về QM phi tương đối tính, chúng ta có thể thông báo rằng hệ số của$\hbar$ thực sự xuất phát từ quan hệ giao hoán, và sau đó chúng tôi có thể chỉ cho họ cách lấy ra nhận thức $E=\hbar\omega$ từ lý do sâu xa hơn (đối với các hạt khối lượng lớn).
Vào thời điểm sinh viên đã sẵn sàng học QM phi tương đối tính, họ đã phải quen thuộc với thực tế chung là trình tự dễ-điều-đầu tiên thường khác với trình tự rõ ràng về mặt logic, vì vậy họ nên cởi mở để sắp xếp lại xem hằng số Planck "đến từ đâu" khi họ học QM phi tương đối tính. Và một khi học sinh thấy yếu tố của$\hbar$ trong $E=\hbar\omega$ nảy sinh từ các quan hệ giao hoán trong QM phi tương đối tính, họ nên cởi mở với ý tưởng rằng điều gì đó tương tự có thể đúng hơn nói chung, vì vậy họ nên cởi mở với một phát biểu như sau:
Sau đó, khi bạn tìm hiểu về QED tương đối tính, bạn sẽ thấy rằng mối quan hệ $E=\hbar\omega$ đối với các photon thì hệ số của nó là $\hbar$ từ cùng một nguồn: quan hệ giao hoán.
Đây không phải là một giải pháp hoàn hảo, bởi vì các sinh viên có thể cho rằng "quan hệ giao hoán" có nghĩa là "giữa vị trí có thể quan sát được và động lượng có thể quan sát được", điều này là không đúng trong QED. Tuy nhiên, vấn đề đó cũng có một giải pháp dễ dàng, một giải pháp kỳ lạ còn thiếu trong chương trình chuẩn: Sau khi dạy QM phi tương đối tính và trước khi dạy QED, hãy dạy QFT phi tương đối tính! QFT phi tương đối tính là một cầu nối sư phạm tuyệt vời vì nhiều lý do, và đây là một trong những lý do đó. Sử dụng QFT phi tương đối tính, trong đó phép toán dễ dàng, chúng tôi có thể cho học sinh thấy quan hệ giao hoán vị trí-động lượng phát sinh như thế nào từ quan hệ giao hoán trường-trường. Từ đó, tìm hiểu lý do tại sao chúng ta không thể xây dựng một toán tử vị trí chặt chẽ trong trường hợp tương đối tính - và tại sao chúng ta vẫn có thể$E=\hbar\omega$ trực tiếp từ quan hệ giao hoán trường-trường - nên là một bước khái niệm tương đối dễ dàng.
Điều này không phụ thuộc cụ thể vào QED, nhưng là hệ quả của tính chất chung của cơ học lượng tử rằng động lượng là liên hợp Fourier của vị trí, hoặc cách khác từ nghiệm của phương trình Schrodinger. Trong các đơn vị tự nhiên, phép biến đổi Fourier chứa thuật ngữ$e^{ix\cdot p}$. Theo đó, các đơn vị tự nhiên của động lượng là 1 / [chiều dài], và tương tự như vậy, các đơn vị tự nhiên của năng lượng là 1 / [thời gian]. Cũng giống như thuyết tương đối chỉ ra rằng các đơn vị tự nhiên của khoảng cách cũng giống như đơn vị thời gian ($c=1$), cơ học lượng tử cho thấy rằng các đơn vị năng lượng tự nhiên là $\mathrm s^-1$. Nói cách khác,$\hbar$chỉ đơn giản là một hằng số chuyển đổi giữa các đơn vị tự nhiên và năng lượng (hoặc khối lượng). Điều này được phản ánh trong định nghĩa SI hiện tại của kilogam, về mặt hằng số Planck.