Thuộc tính của hàm liên tục

Question

Để cho $f(x)$ là một chức năng liên tục trên $\mathbb{R}$. Để cho$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ là một dãy số thực sao cho $a_{n}\leq a_{n+1}$ cho tất cả $n\geq 1$.

Vấn đề : chúng ta có thể tìm thấy một $\alpha>0$ sao cho :

cho tất cả $n\geq 1$ có tồn tại $b_{n}\in(a_{n},a_{n+1})$ với tài sản $$\alpha\; f(b_{n}) (b_{n}-a_{n})\leq f(a_{n})$$

Suy nghĩ của tôi: Nếu $f$ đang giảm trên $\mathbb{R}$ sau đó chúng tôi chỉ lấy $\alpha=1$, nhưng trường hợp chung thì sao, trong đó $f$ tăng trên một số khoảng và giảm trên những khoảng khác?

Đã chỉnh sửa *

Thêm: Theo hai câu trả lời đầu tiên bên dưới, điều này nói chung không thể đúng. Nhưng nếu$f(x)>0$ cho tất cả $x\in\mathbb{R}$.

Answer 1

Không đúng. Để cho$f(x)=\sin (\pi x)$ và $a_n=n$. Sau đó$f(a_n) =0$ và $\alpha f(b_n) (b_n-a_n) >0$ cho tất cả $b_n \in (a_n,a_{n+1})$ nếu $n$ là thậm chí.

Câu trả lời cho câu hỏi sửa đổi. Kết quả là đúng trong trường hợp này. Lấy bất kỳ$\alpha>0$. $f(a_n) >0$ và $\alpha f(x) (x-a_n) \to 0$ như $x$ giảm xuống $a_n$. Do đó tồn tại$b_n \in (a_n,a_{n+1})$ sao cho sự bất bình đẳng được duy trì.

Answer 2

Không.

Để cho $a_n=0$ cho tất cả $n$. Chúng tôi có điều đó$b_n=0\implies b_n-a_n=0$. Vì vậy, LHS luôn$0$. Lấy$f(x)=-1$hàm hằng. Chúng ta có: $$0 \leq -1$$

Sự mâu thuẫn.