Tích phân đường bao số

Question

Tôi đang cố gắng tính tích phân kép cho cố định $m,z>0$:

  (2Pi I)^{-1} Integrate[(Gamma[y/2] Sqrt[Gamma[3 - y]/Gamma[y]])/
  Gamma[(3 - y)/2] z^(3 - y)
   (Exp[-m x] - 1) x^(y - 3)/x, {x, 0, ∞},{y, 
  3/2 - I ∞, 3/2 + I ∞}]

Tích phân qua $x$ có thể được thực hiện phân tích và kết quả phụ thuộc vào sản phẩm $mz$, vì vậy hiệu quả chỉ có một tham số. Các$x$ tích phân cần phải được chia thành hai vùng mà tôi nghi ngờ, và trong một vùng, đường bao của $y$tích phân cần được biến dạng để nó vẫn hội tụ. Kể từ khi$y$ tích phân liên quan đến việc cắt nhánh phức tạp, tôi muốn có thể thực hiện bằng số cho một phạm vi $mz$, để có được độ chính xác ít nhất một vài chữ số. Tôi đang gặp khó khăn để có được kết quả ổn định về số lượng tho.

Answer 1

Tôi không nghĩ rằng tích phân này hội tụ: chỉ cần nhìn vào $x$-hội nhập,

Assuming[m > 0 && z > 0 && Element[q, Reals], 
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2] /.
            y->3/2+I*q,
            {x, 0, ∞}]]

(*    diverges    *)

Nó dường như chỉ hội tụ nếu $\text{Re}(y)$ đang trong khoảng thời gian $[2,3]$:

Assuming[m > 0 && z > 0,
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
            {x, 0, ∞}]]

(*    (m^(3-y)*z^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]
      if 2 < Re[y] < 3                                                                  *)

Sử dụng kết quả sau này:

f[m_, z_, y_] = 
  Assuming[m > 0 && z > 0 && 2 < Re[y] < 3, 
    Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
              {x, 0, ∞}]]

(*    ((m*z)^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]    *)

chúng ta có thể xác định tích phân mong muốn là

F[mz_?NumericQ, Ry_?NumericQ] := 
  2*I*NIntegrate[Re[f[mz, 1, Ry + I t]], {t, 0, ∞}]

sử dụng một số đối xứng của f: nó chỉ phụ thuộc vào sản phẩm$m\cdot z$, không trên $m$ và $z$riêng lẻ; nó là đối xứng trong$t$ vì vậy chúng ta có thể hạn chế tích phân thành $[0,∞)$(nhưng uống hai lần); và kết quả sẽ hoàn toàn là tưởng tượng nên chúng tôi chỉ tích hợp phần thực của tích phân.

Bây giờ chúng ta có thể vẽ, ví dụ, kết quả cho Ry = Re[y] = 5/2: (vẽ phần tưởng tượng)

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]

Chúng ta có thể mạo hiểm và thiết lập Ry = Re[y] = 3/2bằng cách tiếp tục phân tích:

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]