Tìm 4 thống kê đủ khác nhau

Question

Nếu $X_1, ..., X_n$ là một mẫu ngẫu nhiên được lấy từ một quần thể hình học có dạng $$ P(X = x;p) = p(1-p)^x, $$ cho $x = 0, 1, 2, ...,$ và $0 < p < 1$, tìm bốn thống kê đủ khác nhau cho $p$.

Cố gắng :

Tôi đã tìm thấy pmf chung của mẫu ngẫu nhiên là

$$ P(\mathbf{X} = \mathbf{x}; p) = p^n(1-p)^{\sum x_i}, ~~ x_i = 0, 1, 2, ..., ~~\text{and}~~ 0 < p < 1. $$

Thống kê đầy đủ duy nhất tôi có thể nghĩ là $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$, tổng số mẫu.

Viết pmf chung ở dạng hàm mũ, tôi đã tìm thấy

$$ P(\mathbf{X} = \mathbf{x}; p) = \operatorname{exp}\Bigl[n\text{ln}(p) + \sum x_i \text{ln}(1-p)\Bigr] $$

Tuy nhiên, tôi không thấy nó hữu ích như thế nào.

Answer 1

Gợi ý :

Toàn bộ mẫu tự nó là một thống kê đủ với $T(\mathbf{X}) = \mathbf{X}$ (tại sao?).

Đối với một thống kê đầy đủ khác, hãy nhớ lại rằng mọi thống kê đủ tối thiểu là đủ, và sử dụng định lý sau (Định lý 6.2.13) trong Casella và Berger:

Để cho $f(\mathbf{x} \mid \theta)$ là pmf hoặc pdf của một mẫu $\mathbf{X}$. Giả sử tồn tại một hàm$T(\mathbf{x})$ sao cho mọi điểm lấy mẫu $\mathbf{x}$ và $\mathbf{y}$, tỉ lệ $f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ là hằng số như một hàm của $\theta$ nếu và chỉ nếu $T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$. Sau đó$T(\mathbf{X})$ là một thống kê đủ tối thiểu cho $\theta$.

Nếu bạn áp dụng phương pháp này, bạn sẽ có được $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$ là đủ, nhưng hãy quan sát những điều sau: thống kê đủ cụ thể này khiến $f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ không đổi nếu và chỉ khi $T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$.

Để cho $g: A \to B$ với $A, B \subset \mathbb{R}$là một chức năng một-một. Nó theo sau đó$T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$ nếu và chỉ nếu $g(T(\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{y}))$. Như vậy$f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ là hằng số nếu và chỉ khi đối với bất kỳ hàm một đối một nào $g$, $g(T(\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{y}))$. Vì vậy,$g(T(\mathbf{X}))$ là đủ tối thiểu và do đó đủ để $\theta$.

Vì vậy, nếu bạn có một thống kê đủ tối thiểu cho $\theta$, bất kỳ hàm một đối một nào của thống kê đủ tối thiểu cho $\theta$ cũng là đủ tối thiểu, và do đó đủ.