Tìm chiều dài của $DE$
Để cho $ABC$ là một tam giác với $AB<AC$. Để cho$D$ ở bên $AC$ như vậy mà $AD=AB$. Để cho$I$ là tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là giao điểm của các đường trung trực của $ID$ và $BC$. Sau đó tìm$DE$ về mặt $AB$, $AC$ và $BC$.
Trong câu hỏi ban đầu, một số độ dài đã được đưa ra ($AB=5$, $AC=8$ và $BC=7$). Vì vậy, nó làm cho tính toán của tôi dễ dàng hơn nhiều. Tôi không thể nhận được bất kỳ giải pháp thanh lịch nào vì vậy tôi phải sử dụng hình học tọa độ để có được giải pháp với phương pháp brute-force. Một điều thú vị mà tôi quan sát được là$AI$, đường phân giác vuông góc của $BC$ và đường phân giác vuông góc của $ID$ gặp nhau ở đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. tôi biết tại sao$AI$ và đường phân giác vuông góc của $BC$ gặp nhau tại đường tròn ngoại tiếp nhưng tôi không biết tại sao lại phân giác vuông góc của $ID$cũng sẽ gặp nhau ở đó. Bất cứ ai có thể vui lòng cung cấp bằng chứng?
Quay lại câu hỏi chính. Tôi đặt$B=(0,0)$ và $C=(7,0)$ và không gặp nhiều khó khăn, tôi đã tìm thấy tọa độ của $A=\left(\frac{5}{7}, \frac{20 \sqrt{3} }{7} \right)$ và $I=(2, \sqrt{3})$ và $D=\left( \frac{65}{14} ,\frac{15\sqrt{3}}{14}\right)$. Phương trình đường trung trực của$BC$ Là $x=3.5$ và phương trình đường phân giác vuông góc của $ID$ Là $y-\frac{29\sqrt{3}}{28}=\frac{-37}{\sqrt{3}} \left(x-\frac{93}{28}\right)$. Giao điểm của chúng là điểm$E= \left(\frac{7}{2}, \frac{-7\sqrt{3}}{6}\right)$. Và do đó độ dài của$DE$ Là $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Như bạn đã thấy phương pháp này cực kỳ rườm rà và dễ mắc sai lầm (tôi thậm chí không biết câu trả lời của mình có đúng không). Tôi thực sự thích một giải pháp hình học cho câu hỏi này. Tôi chỉ biết hình học cơ bản và lượng giác, vì vậy tôi yêu cầu một giải pháp dựa trên những điều đó. (Cũng vui lòng làm rõ tại sao chúng sẽ thẳng hàng). Bất kỳ giải pháp sẽ được đánh giá cao. Vui lòng sử dụng độ dài cho trước để dễ tính và viết.
Sơ đồ để tham khảo:
Trả lời
Tôi sẽ biểu thị các góc của tam giác bằng $A,B,C$ và các cạnh của tam giác đối diện với các góc này tương ứng là $a,b,c$.
Sự thật 1: Kể từ$\triangle ABD$ là cân với phân giác góc $AI$, $AI$ là đường trung trực của $BD$.
Sự thật 2: $$\begin{aligned}\angle BIC&=180^\circ-\angle IBC-\angle ICB=180^\circ-\dfrac{B}2-\dfrac{C}2\\&=180^\circ-\left(\dfrac{B+C}2\right)=180^\circ-\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2 \end{aligned}$$
Sự thật 3: Sử dụng nó$\triangle ABD$ là cân, chúng tôi có $\angle ABD=\angle ADB= \dfrac{180^\circ-A}2$ $$\begin{aligned} \angle BDC= A+\angle ABD=A+\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2\end{aligned}$$
Từ Dữ kiện 2,3 , chúng ta có rằng$\angle BIC=\angle BDC$, vì vậy nếu chúng ta vẽ đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDC$thì hai góc bằng nhau này là góc cùng phân đoạn của đường tròn đó , sao cho$B,I,D,C$là concyclic. Điều này ngụ ý rằng$\underline{\text{$\ tam giác BID$ and $\ tam giác BDC$ have the same circumcircle}}$.
Do đó, biểu thị $\texttt{PB,CC}$ là phân giác vuông góc và đường tròn ngoại tiếp tương ứng, nó theo sau đó $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC \ (\text{by definition of }\texttt{CC})\\ (\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC \ (\text{by definition of }\texttt{CC}) $$ nhưng sự thật được gạch chân ngụ ý $$\texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC=\texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC$$ vậy nên $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=(\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)$$và bởi Sự thật 1 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=AI \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=E$$ trong đó bình đẳng thứ hai là thứ bạn đã đề cập bạn đã biết.
Như vậy $E$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\triangle BIC,\triangle BDC$ với $EC,EI,ED$ như bán kính $R_1$của vòng tròn. Bạn có thể tìm$|DE|=R_1$ sử dụng quy tắc sin trên $\triangle BDC$ như
$$\begin{aligned} DE=IE=R_1=\dfrac{BC}{2\sin(\angle BDC)}&=\dfrac{BC}{2\sin\left(90^\circ+\dfrac{A}2\right)}\\&=\dfrac{a}{2\cos\left(\dfrac{A}2\right)}\end{aligned}$$ và sau đó sử dụng $\cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+\cos^2A}2}$ với $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ từ quy tắc côsin.
Chúng tôi có thể thấy điều đó $ID=IB$. Ngoài ra chúng tôi có:
$\angle BEA=\angle ACB$
$\angle BAE=\angle EAC$
Kết quả là:
$\triangle ABE=\triangle AEC $
Vì thế:
$BE=DE$
Bây giờ nối C với I. CI là tia phân giác của góc ACB. Đánh dấu giao điểm của đường vuông góc từ E trên ID là F. Đường vuông góc này cũng là tia phân giác của góc IED. Chúng ta có:
$\angle IEF=\frac{\angle BEI}{2}=\frac{\angle ACB}{2}$
Kết quả nào:
$\angle BCI=\angle IEF$
Chúng tôi cũng có thể cho thấy rằng $EC=ED$. Điều này có nghĩa là các điểm B, I, D và C nằm trên chu vi của một hình tròn tâm tại E. Bây giờ xét tam giác IBC, DE thực tế là bán kính của hình tròn này, vì vậy chúng ta sử dụng công thức sau để tính số đo của nó:
$DE=R=\frac{BI\times IC\times BC }{2S}$
Trong đó S là diện tích của tam giác này. Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần là tìm các thước đo của BI, IC. Có những điều này, chúng ta có thể tìm thấy S bằng công thức Harum và tìm R.