Tìm ma trận sơ cấp

Question

Vì vậy, hãy xem xét các ma trận này $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Và câu hỏi đặt ra là tìm ma trận khả nghịch $X$ như vậy mà $AX=B$ và thể hiện $X$dưới dạng tích của 2 ma trận sơ cấp.

Những gì tôi biết Tôi đã thử: Vì vậy, tôi biết rằng bạn có thể dễ dàng nhận được X bằng cách đảo ngược A và nhân nó với B nhưng tôi cần hai ma trận cơ bản nên tôi đã thử một giải pháp khác.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Vì vậy, những gì tôi đã làm là cố gắng làm cho A bằng với các phép toán hàng cơ bản và làm tương tự với 2 $\times$ 2 ma trận nhận dạng.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

Vì vậy, tôi đã có thể đến C trong hai phép toán cơ bản như bài toán đã chỉ định. Nhưng sau đó khi tôi cố gắng kiểm tra với phương trình ban đầu của mình:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

Nó không bằng C. Tôi không hiểu mình đang làm gì sai? Tôi đã cố gắng thực hiện phép tính nhiều lần và tôi vẫn đạt được kết quả tương tự. Sai lầm của tôi ở đây là ở đâu? Nó có phải là quá trình chính nó?

Answer 1

Hãy thử tính toán $A^{-1}B$ và bạn sẽ thấy rằng ma trận khác với $E_1E_2$ , vì vậy nghịch đảo của ma trận vuông là duy nhất (và vì vậy $A^{-1}B$ quá) phương pháp của bạn sai.

---

Để giải quyết vấn đề, tôi sẽ sử dụng một thuộc tính của ma trận traspose, đó là:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Để sử dụng điều này, hãy tìm các ma trận cơ bản cho hệ thống: $$KA^T = B^T$$ với $K=E_2E_1$và sau đó truy tìm mọi thứ, thu được:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$