Tìm mật độ có điều kiện

Question

$X$ là một biến ngẫu nhiên hàm mũ với $E[X] = \frac{1}{\lambda}$. $Y$ là một biến ngẫu nhiên hàm mũ sao cho $E[Y | X = x] = \frac{1}{x}$. Tìm thấy$f_{X|Y}(x|y)$.

Đầu tiên tôi tìm thấy mật độ khớp, tôi nghĩ là $f(x,y) = f_{Y|X}(y|x)\cdot f_X(x)$, Ý nghĩa $f(x,y) = xe^{-xy} \cdot \lambda e^{-\lambda x}$. Sau đó, tôi sẽ phải tìm mật độ biên của$Y$, đó là $\int_{0}^{\infty}f\left(x,y\right)dx$. Sau đó, tôi sẽ phải chia mật độ khớp cho mật độ biên của$Y$ để có được $f_{X|Y}(x|y)$.

Có phải tôi đang trên đường ray bên phải không?

Answer 1

Đúng.

Chúng tôi có điều đó $X\sim\mathcal{Exp}(\lambda)~$, $~Y\mid X\sim\mathcal{Exp}(X)~$.

Sau đó

$$\begin{align}f_{\small X}(x)&=\lambda\,\mathrm e^{-\lambda x}\mathbf 1_{0\leqslant x}\\[3ex]f_{\small Y\mid X}(y\mid x)&=x\,\mathrm e^{-xy}\mathbf 1_{0\leqslant y~,~0\leqslant x}\\[3ex]f_{\small Y}(y)&=\int_\Bbb R f_{\small Y\mid X}(y\mid s)\,f_{\small Y}(y)\,\mathrm d s\\[1ex]&=\int_0^\infty s\lambda\,\mathrm e^{-(y+\lambda)s}\,\mathbf 1_{0\leqslant y}\,\mathrm d s\\[1ex]&= \lambda\,(y+\lambda)^{-2}\,\mathbf 1_{0\leqslant y}\\[4ex]f_{\small X\mid Y}(x\mid y) &= \dfrac{f_{\small Y\mid X}(y\mid x)\,f_{\small X}(x)}{f_{\small Y}(y)}\\[1ex]&~~\vdots\end{align}$$