Trường vectơ dán

Question

Để cho $M$ là một đa tạp trơn và $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$tập bản đồ liên quan mượt mà. Tôi có các trường vector mượt mà$X_i$ trên mỗi $U_i$ như vậy cho $i, j \in I$, $X_i$ và $X_j$ bình đẳng về $U_i \cap U_j$. Có định lý nào cho phép tôi "dán" các trường vectơ này không,$i.e.$ có trường vectơ (duy nhất) không $X$ trên $M$ như vậy mà $X\big|_{U_i} = X_i$? Cảm ơn rât nhiều!

Answer 1

Vâng, trên thực tế, chúng tôi có một kết quả tổng quát hơn một chút, xuất hiện trong phần Giới thiệu về Smooth Manifolds lần thứ 2 của Lee, như sau:

Hệ quả 2.8 (Bổ đề dán cho Bản đồ mượt mà) Hãy$M$ và $N$ là đa tạp trơn có hoặc không có ranh giới, và để $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ là một trang bìa mở của $M$. Giả sử rằng với mỗi$\alpha \in A$, chúng tôi được cung cấp một bản đồ trơn tru $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ sao cho các bản đồ thống nhất về sự chồng chéo: $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ cho tất cả $\alpha$ và $\beta$. Sau đó, tồn tại một bản đồ trơn duy nhất$F : M \to N$ như vậy mà $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ cho mỗi $\alpha \in A$.

Đây chỉ là hệ quả của thực tế rằng nếu một bản đồ $F: M \to N$ cục bộ trơn tru, sau đó bản đồ $F$ là mịn.