Vận tốc pha trong chuỗi giải phẫu

Question

Khi xem xét một chuỗi nguyên tử đơn nguyên một chiều (khối lượng giống hệt nhau $m$ & mùa xuân không đổi $\kappa$), người ta tìm thấy sự phân tán sau: $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$

đó là $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-kinh nghiệm. Vì vậy, các vectơ sóng cao hơn$\mathrm{\pi}/a$ không cung cấp hành vi vật lý mới.

Tuy nhiên, khi tính toán vận tốc pha, người ta thấy: $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$Điều này có nghĩa là vận tốc pha đi giống như một sinc, không tuần hoàn; sóng bên ngoài vùng Brioullin đầu tiên mang lại vận tốc pha thấp hơn nhiều.

Sao có thể như thế được? Có lý do chính đáng để chỉ xem xét vùng Brioullin đầu tiên cho vận tốc pha không? Hoặc có những sai sót khác khi tính toán của tôi?

Answer 1

Vận tốc pha là vô nghĩa bên ngoài vùng Brillouin đầu tiên. Vận tốc pha là tốc độ mà "đỉnh" của sóng truyền đi, nhưng bên ngoài vùng Brillouin đầu tiên, bước sóng nhỏ hơn khoảng cách giữa các nguyên tử, do đó không thực sự có đỉnh; hầu hết các "đỉnh" xuất hiện trong khoảng trống giữa các nguyên tử, nơi không có gì để dịch chuyển, vì vậy các đỉnh là một loại hiện vật toán học.

Trong khi bạn có thể xác định một hàm liên tục cho sự dịch chuyển của các nguyên tử khỏi vị trí cân bằng của chúng $u\left(x, t\right)$đối với sóng, điều đó không có nghĩa là sóng thực sự liên tục; sóng chỉ có một sự dịch chuyển có ý nghĩa tại$x$những vị trí có nguyên tử. Vì vậy, một số trực giác đến từ sóng trong môi trường liên tục không thực sự áp dụng.