Về tổng số dư bậc hai

Question

Để cho $p>3$là một số nguyên tố. Chúng tôi đặt$R=\{x\in\mathbb{Z}: (x/p)=1\}$, Ở đâu $(\cdot/p)$là biểu tượng Legendre. Khi nào$p\equiv3\pmod4$, theo công thức lớp của trường bậc hai ảo $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$, chúng tôi có thể dễ dàng có được điều đó $$A_p:=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x=(p^2-1)/16,\ \text{if}\ p\equiv7\pmod8,$$ và điều đó $$A_p=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x=(p^2-1+8ph(-p))/16,\ \text{if}\ p\equiv3\pmod8,$$ Ở đâu $h(-p)$ là số lớp của $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$. Tuy nhiên, trong trường hợp$p\equiv1\pmod4$ Tôi không thể nhận được giá trị rõ ràng của $$A_p=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x.$$

Bình luận của bạn được hoan nghênh.

Answer 1

Theo công thức tiêu chuẩn cho các giá trị của hàm L ở số nguyên âm, cho $p\equiv1\pmod4$ một có $$A_p=(p^2-1)/16+aL(\chi_p,-1)\;,$$ với $a=3/4$ nếu $p\equiv1\pmod8$ và $a=5/4$ nếu $p\equiv5\pmod8$ Ở đâu $\chi_p(x)=(x/p)$.