Vô số hoàn chỉnh Đại số Boolean

Question

Tôi đang đọc bài báo của Tarski "Các khía cạnh tiên đề và đại số của hai định lý về tổng các thẻ". Ở trang 99, ông phát biểu định lý sau.

Định lý A Boolean$\sigma$-algebra là đồng phân với a $\sigma$-tổng số của tập hợp nếu và chỉ nếu tất cả các phần tử của nó $\neq1$ được chứa trong một số nguyên tố $\sigma$-ideal (tức là một lý tưởng cực đại có chứa sup của bất kỳ họ phần tử nào có thể đếm được của nó).

Sự cần thiết dường như hiển nhiên. Đối với tính đầy đủ, Tarski nói rằng nó có thể được chứng minh giống như cách người ta có thể chứng minh định lý biểu diễn Stone. Thật không may, tôi không hiểu làm thế nào. Bạn có bất kỳ đề nghị về vấn đề này?

Answer 1

Chứng minh gần giống với chứng minh của định lý biểu diễn Stone; bạn chỉ cần thêm một số$\sigma$s ở những nơi thích hợp. Để cho$B$ là một người Boolean $\sigma$-algebra và let $X$ là tập hợp các số nguyên tố $\sigma$-sử dụng trong $B$. Định nghĩa$f:B\to P(X)$ bởi $f(b)=\{I\in X:\neg b\in I\}$. Sau đó$f$ là một phép đồng cấu, và trên thực tế là $\sigma$-homomorphism kể từ mỗi $I\in X$ là một $\sigma$-lý tưởng. Bây giờ nếu giả thuyết của bạn là đúng, thì$f$ là bị thương, vì $f(b)=\emptyset$ có nghĩa là $\neg b$ không phải là nguyên tố $\sigma$-như vậy $\neg b=1$ và $b=0$. Vì vậy,$B$ là đẳng lập với $\sigma$-tổng số của các tập hợp được cho bởi hình ảnh của $f$.