$A$ là ma trận thực và đối với một số $k\geq 2,A^{k}$ tương tự như ma trận trực giao, cách chứng minh $A$ cũng tương tự như một ma trận trực giao?

Aug 17 2020

Nỗ lực của tôi.

$A^{k}=POP^{-1}$.Đây $O$ là một ma trận trực giao Tôi muốn tìm một ma trận trực giao $O_{1}$ và $O_{1}^{k}=O.$ Tôi nghĩ điều này có thể làm được vì ma trận khả nghịch luôn có 'căn bậc hai'. Nhưng ngay cả khi điều này có thể được thực hiện và$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Điều này vẫn sẽ không cung cấp bất kỳ thông tin nào về $A$.Vậy làm thế nào để sử dụng thông tin được cung cấp bởi một số hình thức chuẩn của $A^{k}$ để tìm thông tin về $A$?

Cố gắng hơn nữa.

Tôi nghĩ có lẽ tôi nên xem xét vấn đề này trên $\mathbb{C}.$Vì thế $O$ là một ma trận chuẩn phức đặc biệt. $O$ có thể theo đường chéo trên $\mathbb{C}$.Điều này có nghĩa là $A^{k}$ có thể theo đường chéo và môđun các giá trị riêng của nó là 1. Do đó, A.So $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ Rõ ràng rằng M tương tự như một ma trận trực giao trên $\mathbb{C}.$

Bằng chứng này khá lạ vì chúng ta chỉ xem xét $\mathbb{R}$ khi nói về ma trận trực giao và bản thân bài toán không nêu trường mà chúng ta sử dụng.

Có giải pháp nào tốt hơn không？

Trả lời

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

Tôi cho rằng $P$là một ma trận có giá trị thực. (Nếu nó yêu cầu$\mathbb C$ bên dưới có thể được thay đổi một chút để thay vào đó là các dạng Hermitian.)

Xét không gian vectơ tọa độ cho bởi $V=\mathbb R^n$ và một toán tử tuyến tính trên không gian này được cho bởi $T:= P^{-1}AP$. Nó đủ để cho thấy rằng$T$tương tự như một ma trận trực giao thực. Từ$T^k$ không cần chú ý, cũng vậy $T$.

Với $\langle, \rangle$biểu thị sản phẩm bên trong thực tiêu chuẩn, chúng tôi xác định dạng song tuyến đối xứng tùy chỉnh sau . Đối với$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
Đó là ngay lập tức rằng hình thức này là xác định tích cực. Thông báo mới

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Điều này nghĩa là $T$ là một toán tử trực giao đối với dạng song tuyến tùy chỉnh.

Bây giờ tính toán hình ảnh của $T$ liên quan đến một cơ sở được lựa chọn tốt
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
Ở đâu $\mathbf B$được chọn làm cơ sở chính thống nào đó liên quan đến dạng song tuyến tùy chỉnh và$Q$là một số ma trận. Vì không gian vectơ của chúng ta là$V=\mathbb R^n$, chúng tôi chú ý điều đó $\mathbf B$ cũng có thể được hiểu là một ma trận khả nghịch.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$là trực giao đối với sản phẩm bên trong tiêu chuẩn .

Cuối cùng
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

do đó $T$ tương tự như một ma trận trực giao

biện minh chi tiết rằng $Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$ và $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ và $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
và bằng cách tính toán gần như giống hệt nhau $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
nơi ngụ ý theo sau bởi vì $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Vì các điều kiện ở trên giữ cho việc lựa chọn tùy ý $\mathbf x$ và $\mathbf y$ chúng tôi kết luận rằng $Q$là trực giao đối với sản phẩm bên trong tiêu chuẩn .

lưu ý
Ở trên cũng đưa ra một bằng chứng cho lý do tại sao$M^k = I$ ngụ ý rằng $M$ có thể theo đường chéo $\mathbb C$, như $I$chỉ là một trường hợp đặc biệt của một ma trận trực giao thực. Những điều trên cho thấy rằng$M$ tương tự như ma trận trực giao thực mà theo định lý quang phổ tương tự như ma trận đường chéo (qua $\mathbb C$). Bằng chứng tiêu chuẩn của kết quả này mà bạn sẽ thấy trên trang web này sử dụng đối số đa thức tối thiểu, mặc dù đa thức tối thiểu dường như không áp dụng cho câu hỏi của OP.