Bản đồ, tiêm hay cả hai?
Chúng tôi được đưa ra mối quan hệ $R$ giữa $\mathbb{N}$ và $\mathbb{N}$: $$ R\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\colon n \mapsto n^3- 3n^2 - n $$ và chúng tôi được hỏi: là $R$ một bản đồ, bijection, tiêm hay bổ sung?
Trước hết, rõ ràng là không phải mọi số tự nhiên $n$ có một ánh xạ tương ứng, ví dụ: 1 sẽ ánh xạ tới -3, là $\notin \mathbb{N}$, tương tự cho 2 (sẽ ánh xạ đến -6) và 3 (sẽ ánh xạ tới -2). Kết luận: không phải mọi phần tử trong tập nguồn$\mathbb{N}$ có một phần tử mục tiêu được liên kết và cũng không phải mọi phần tử trong tập hợp mục tiêu $\mathbb{N}$ có một phần tử nguồn được liên kết.
Điều này loại trừ sự từ chối và loại bỏ. Nó phải là một phần tử chèn, vì mọi phần tử đích đều có một phần tử nguồn duy nhất. Đồng nghiệp của tôi nghĩ rằng$R$vừa là bản đồ vừa là phần tiêm, vì "tất cả các lần tiêm đều là bản đồ". Tuy nhiên, tôi tin rằng$R$không phải là một bản đồ, vì không phải mọi phần tử trong tập nguồn đều có một phần tử đích. Các nguồn khác nhau trên internet (và sách) dường như xác định bản đồ và nội dung bị giới hạn trong phạm vi$R$, trong trường hợp đó đồng nghiệp của tôi đã chính xác rằng tiêm là bản đồ.
Chúng ta đang mắc kẹt. Ai trong chúng ta đúng?
CHỈNH SỬA Chúng tôi đang theo dõi các định nghĩa (không chuẩn?) Từ một khóa học về Toán rời rạc, như sau:
- Mối quan hệ giữa hai tập hợp được gọi là ánh xạ nếu từ mọi phần tử ở đó khởi hành đúng một mũi tên.
- Một quan hệ được gọi là một phần tử nếu từ mỗi phần tử có nhiều nhất một mũi tên khởi hành và trong mỗi phần tử có nhiều nhất một mũi tên đến.
Trả lời
Mối quan hệ (nhị phân) giữa các tập hợp $X$ và $Y$ không gì khác hơn là một tập hợp con của tích Descartes $X × Y$. Trong câu hỏi của bạn, chúng tôi có$R \subset \mathbb N \times \mathbb N$. Theo tôi, nó là sai lầm khi viết nó theo mẫu$n \mapsto n^3- 3n^2 - n $, Tôi thích viết hơn $$R = \{ (n,m) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m = n^3- 3n^2 - n \} .$$
Tôi khuyên bạn nên xem https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation.
$R$ không phải là một chức năng $\mathbb N \to \mathbb N$. Như bạn đã trình bày, cho$n = 1, 2,3$ chúng tôi không có $m \in \mathbb N$ như vậy mà $(n,m) \in R$. Tuy nhiên, chúng tôi có thể coi nó là một chức năng một phần , có nghĩa là đối với mỗi$n \in \mathbb N$ chúng tôi có nhiều nhất một $m \in \mathbb N$ như vậy mà $(n,m) \in R$. Hạn chế$\mathbb N \setminus \{1, 2, 3\} \to \mathbb N$ là một chức năng.
$R$là một quan hệ bất chính. Điều này có nghĩa là nếu$(n, m) \in R$ và $(n', m) \in R$, sau đó $n = n'$. Trên thực tế, hãy xem xét chức năng$\phi : \mathbb R \to \mathbb R,\phi(x ) = x^3 -3x^2-x$. Dẫn xuất của nó$\phi'(x) = 3x^2 - 6x -1$ tích cực cho $x > \xi = 1 + \sqrt{4/3}$, do đó $\phi$ đang tăng lên $(\xi,\infty)$. Từ$ 4 > \xi$, chúng tôi bị thương.
$R$ không phải là một quan hệ khách quan có nghĩa là tồn tại $m \in \mathbb N$ như vậy cho tất cả $n \in \mathbb N$ chúng ta có $(n,m) \notin R$. Trên thực tế, chúng tôi có$\phi(4)= 12, \phi(5) = 45$. Từ$\phi$ đang tăng lên $(\xi,\infty)$, chúng tôi có thể lấy $m = 13$.
Tôi có thể nói rằng đó là một bản đồ (không được xác định rõ) từ $\mathbb{N}$ đến $\mathbb{N}$ (vì nó lấy đầu vào từ $\mathbb{N}$ và xuất vào không gian đích $\mathbb{N}$). Nó không phải là một mũi tiêm vì nó thậm chí không được xác định rõ ràng.
Nhưng nó là một bản đồ được xác định rõ ràng từ $\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$ đến $\mathbb{N}$, thực tế nó là một mũi tiêm
Theo định nghĩa mà bạn đưa ra ở cuối bài viết của mình, chúng tôi có rằng mọi hàm lệnh đều là một quan hệ lệnh cấm nhưng mọi quan hệ lệnh cấm không phải là một hàm lệnh (hàm lệnh ở đây có nghĩa là một quan hệ là một hàm và một quan hệ bị tổn thương).
Ví dụ, hãy $A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c\}$ và $R=\{(b,b),(c,c)\}\subset A\times B$ sau đó $R$ không phải là một chức năng từ $A$ đến $B$ vì không có mũi tên nào khởi hành từ $a$ (yêu cầu của định nghĩa về ánh xạ của bạn sẽ là có một mũi tên khởi hành từ $a$).
Mặt khác, từ mọi yếu tố của $A$ chỉ có nhiều nhất một mũi tên khởi hành (Từ ngữ "tối đa" gợi ý rằng không cho phép mũi tên khởi hành) và cũng có nhiều nhất một mũi tên đến từng phần tử của $B$ chế tạo $R$ một mối quan hệ bất chính.
Tóm lại: Phép chiếu (xét về quan hệ) không phải lúc nào cũng là ánh xạ.