Bằng chứng của mọi PID là Noetherian

Question

Tôi đã thấy bằng chứng của mệnh đề này ở đây , nhưng tôi có một câu hỏi về điều này.

Định nghĩa về vành Noetherian là vành đó là giao hoán, và mọi lý tưởng của R đều được tạo ra một cách hữu hạn, phải không? Vòng chính là vòng đó là mọi lý tưởng được tạo ra bởi một phần tử duy nhất, vì vậy nó rất rõ ràng. Nhưng tôi tò mò là không chỉ PID, mà cả nhẫn chính là Noetherian?

Cảm ơn bạn!

Answer 1

Bạn nói đúng, nó không liên quan gì đến việc trở thành một miền.

Trong một vòng lý tưởng chính, tất cả những lý tưởng được hữu hạn được tạo ra vì một fortiori họ đang đơn lẻ tạo ra. Nghĩa là, tập hợp một phần tử là tập hợp sinh hữu hạn!

Vấn đề là trong một số bối cảnh, các tác giả chỉ bám vào các miền. Vì vậy, không có gì bí ẩn lớn về việc bao gồm điều kiện miền, nó chỉ là một điều bối cảnh.