Câu hỏi cờ bạc
Bài tập 4.21: Trong một trò chơi, bạn thắng \ $ 10 với xác suất $ \ frac {1} {20} $ và thua \ $ 1 với xác suất$\frac{19}{20}$. Tính xác suất gần đúng mà bạn thua $ 100 sau 200 trò chơi đầu tiên. Xác suất này sẽ thay đổi như thế nào sau 300 ván đấu?
Cố gắng :
Đầu tiên, chúng tôi hiển thị số tiền thắng và thua cùng nhau trong một biến duy nhất. Xác định \ begin {method *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end { method *} trong đó $ W_n $ biểu thị số tiền thắng sau $ n $ trò chơi và $ S_n $ xác định số lần thắng trong $ n $ trò chơi. Do đó, \ begin {method *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ powersr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ expandr). \ end {method *} Bây giờ, chúng tôi áp dụng Định lý Giới hạn Trung tâm trong cả hai trường hợp, với các giá trị khác nhau của $ n $ .
Đặt $ n = 200 $ , sau đó $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Do đó, chúng tôi mong muốn có $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Hơn nữa, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ và Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Do đó, nó theo sau CLT với hiệu chỉnh tính liên tục \ begin {method *} P \osystemr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ cỡ lớn) \ khoảng 1 - \ Phi (-0,457169) \ khoảng 0,6772. \ end {phương trình *}
Bây giờ, cuốn sách đưa ra một câu trả lời khác cho trường hợp đầu tiên của 200 trò chơi, đó là 0,5636. Tôi muốn hiểu sai lầm của mình trước khi chuyển sang trường hợp tiếp theo
Về mặt trực quan, điều này cũng có ý nghĩa vì điều kiện của $ S_n> \ frac {100} {11} $ phải ở gần đầu đường cong hình chuông của phân phối chuẩn, vì giá trị dự kiến của 10 gần với $ \ frac {100} {11} $ . Tuy nhiên, trong cuộc đời của mình, tôi không thể phát hiện ra lỗi trong tính toán của mình.
(Câu hỏi Trao đổi Ngăn xếp Toán học khác cho câu hỏi này không làm rõ điều gì về cơ bản đối với tôi, do đó bài đăng này.)
Mất ít hơn $ 100 trong một trò chơi may rủi.
Trả lời
Nếu $X$ là số trận thắng ngẫu nhiên trong $n$ trò chơi, sau đó $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ và biến ngẫu nhiên thắng / thua ròng là $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ Như vậy $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Biểu thức cuối cùng này là do $X$không thể nhận các giá trị phân số. Hậu quả là,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Đây là xác suất chính xác: xấp xỉ duy nhất ở đây là làm tròn phân số thành số thập phân.
Điều này cũng cung cấp một cái nhìn sâu sắc về lý do tại sao câu trả lời của bạn không chính xác: chỉ vì bạn đang sử dụng giá trị gần đúng bình thường với hiệu chỉnh liên tục không có nghĩa là kết quả cho $W$ mà bạn muốn đưa vào xác suất mong muốn có thể nằm ngoài không gian mẫu cho $W$.
Ví dụ, nếu $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$và tôi yêu cầu bạn $\Pr[U < 225.999]$, trước tiên bạn cần viết $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, sau đó bạn áp dụng hiệu chỉnh liên tục để ước tính nó là$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$Điều tương tự cũng áp dụng ở đây; do đó$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Rõ ràng là văn bản của bạn được làm tròn trước khi hoàn thành phép tính hoặc nó đang sử dụng tra cứu bảng thông thường tiêu chuẩn mà không cần nội suy, vì $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. Trong mọi trường hợp, sự gần đúng$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ lệch xa quá nhiều.